[📃칼럼] (물리2 X) 구각정리와 지구 중심에서의 중력

[익명(121.64)]

부제를 붙이자면 "지구 중심에서는 우리는 짜부가 될까?"가 적당하겠다

지구 중심 근방에서 중력의 크기는 어떨까?

밑에 누가 말한 것처럼 지구의 질량중심에 질량이 몰려있다고 생각하면 지구 중심 근처에선 엄청 중력이 센 게 아닐까?

물리2 내용은 넘어선 이야기이지만 대충이나마 해보자

우리가 고등학교 수준 물리 문제를 풀다 보면 자주 보는 말들이 있지

(단, 물체의 크기는 무시한다.)

(단, 막대의 두께는 무시한다.)

당연히 계산하기가 용이하니까 그런 조건을 줬을 거야

충돌 문제만 보더라도 두 물체 사이의 거리가 0일 때 충돌하면 알기가 쉽지만

두 물체의 중심 사이의 거리가 R+r일 때 충돌한다고 하면 좀 귀찮아보이잖아

근데 나중에 가보면 물체의 크기를 무시할 수 없는 경우도 나오게 돼

물론 일반물리는 가야겠지

그 때에도 질량중심을 이용해서 물체를 마치 질량 m짜리 "점"인 것처럼 취급하곤 하게 될 거야

앞으로 이렇게 질량이 쏠려있는 점을 질점이라고 하자

그 비슷한 논의는 중력에서도 적용이 됐어

결국 지구라는 커다란 공에 의한 힘이니까 이 커다란 공을 질량이 M짜리인 질점으로 취급할 수 있지 않겠어?

(이거에 대해 자세한 증명은 대학 가서도 물리학이 하고 싶으면 대학 가서 하자)

그 때 사용되는 아이디어는 이런 거야

지구를 그냥 커다란 공이라고만 생각하는 게 아니라 이렇게 양파껍질처럼 구의 껍질(구각)들을 켜켜이 겹쳐둔 모양이라고 보는 거지

그럼 어떤 물체에 작용하는 중력은 각각의 구각에 의한 중력의 합일 거야

특히 구의 중심이 일치하니까 중력의 방향은 항상 구의 중심을 향하겠지

아무튼 이게 왜 나왔냐면, 이 구각 사이로 파고들었을 때에도 중력이 똑같이 작용할지 알아보자는 거야

그래서 내가 구각 하나를 떼어왔어

구각 하나 안의 임의의 한 점에 우리가 있다고 하자

우리를 지나는 직선이 구각과 두 점에서 만날 텐데, 그 거리의 비를 a:b라고 해보자

그러면 길이의 비가 a:b이니까 그 선분을 적당히 회전시켜 얻은 저 통조림처럼 생긴 애들의 반지름 비도 a:b일 거야

닮음에서 쉽게 알 수 있겠지?

그러면 이 통조림의 부피의 비는 높이가 구각의 두께로 일정하니까 통조림 밑면의 넓이인 a^2 : b^2이 될 거야

구각의 밀도가 일정하니까(일정하다고 하자 편의상) 부피의 비가 곧 질량의 비가 돼

한편으로 이 통조림들은 우리로부터 떨어진 거리가 a:b이네

만유인력 식은 질량에 비례하고 거리 제곱에 반비례 하니까 a^2 * 1/a^2 : b^2 * 1/b^2 = 1:1이 돼

그러니까 어떤 식으로 통조림을 잡든 반대편에 있는 통조림 때문에 크기가 같고 방향이 반대인 중력이 생겨서 알짜힘이 0이 되는 거지

이게 무슨 말이냐면, 구각 안에서 있으면 구각 자체에 의한 중력은 전부 상쇄된다는 거야

우리가 안으로 파고 들어가면 파고 들어갈수록 나보다 바깥에 있는 구각에 의한 중력이 무시되니까

그냥 저 동그라미 안에 있는 지구만큼만 알짜중력을 받게 돼

그럼 딱 지구 중심에 있다면?

우리 몸이 녹지만 않는다면 중력은 0이 돼서 둥둥 떠다니는 꼴이 될 거야

지구 중심에 가더라도 우리 몸은 짜부가 되지 않고 오히려 우주에 온 것처럼 느껴진다는 거지

이제 이걸 읽었으니 작년 만유인력 지문을 다시 읽어보자 ㅎ

[oopsne(oopsne)]

뭔가 가우스 법칙과 유사한 이야기라서 신기했어여 ㅋㅋ

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[익명(121.64)]

물리학갤이었든지 물리학을 하는 사람들끼리 얘기하려면 수식도 쓰긴 썼을 듯

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[익명(121.64)]

일단은 구라는 가정이긴 하죠. 원래는 구각을 잘게 쪼개서 쪼개진 질량에 의한 중력을 다시 적분시켜주는 과정이 있어야 돼요. 여기선 그거 증명하는 자체가 중요한 건 아니라서 그걸 생략했지만 실은 빼먹으면 안 되는 굉장히 중요한 과정임. 그 적분 과정이 일단 구라서 가능한 계산인 것도 있고여

[성천(sunmoon319)]

근데 지구가 완벽한 구인 것도 아니고 좀 찌그러져 있는 구라고 알고 있는데 그 정도는 무시해도 될만큼 약간 찌그러져 있으니까 구라고 간주하고 풀어도 되겠지? 쓰고 보니까 당연한 걸 물어봤네

[익명(121.64)]

말씀하신 대로임. 이 글에서의 가정은 "지구는 완벽한 구이며, 밀도가 균일하다"예요. 엄밀히는 지구 내부의 층상구조 때문에 실제론 어느 깊이까지는 알짜중력이 증가하다가 극대를 지나고서는 쭉 알짜중력이 감소하는 그래프가 나와여. 거기다가 중력 탐사라는 간접 탐사 방법에서 알 수 있듯 지하에 매장된 자원의 종류와 양에 따라서도 다 다르고여. 아무튼 타원형이라서 완전히 일치하진 않지만 무시해도 될 만큼이라고 보는 거죠.

[oopsne(oopsne)]

근데 작용하는 힘이 0인거랑 알짜힘이 0인건 차이가 있지 않나여...? 중력이 상쇄되긴 하지만 몸이 늘어날 수도 있잖아요

[삐리매미(whdgusdlrnldudnj)]

오 너 똑똑하다ㅏ

[삐리매미(whdgusdlrnldudnj)]

근데 중력은 입자 하나하나에 작용되는 거니깐 밧줄로 잡아당기는 것처럼 몸이 늘어나는 느낌이 아니라 무중력 상태일 거 같음

[익명(121.64)]

차이가 있긴 하겠죠. 가속되지만 않을 뿐이고, 대충 심해어를 얕은 수면으로 끌고 왔을 때 느낌이 아닐까요

[ㄱㅂㅊ(mnopqr)]

압력과 지구 안에서의 중력은 전혀 다름. 니 대가리를 예로 들면 중력은 상하좌우 모든 방향으로 (거의) 균일한 힘이 작용하여 합력이 0이지만, 압력은 정수리쪽에서는 오직 밑 방향으로만 힘이 깔끔하게 작용함. 몸이 알아서 버티는거지

[퍼둘기(119.204)]

잘봤어요