[📃칼럼] 무한 퍼텐셜 에너지 우물에서의 에너지, 파동함수 공식 증명 (수능 외)

[슻붕(ypooh2062)]

물2붕이들 ㅎㅇ 나는 지금 물리학과에 다니는 학식인데, 시험 끝나고 심심하기도 하고, 옛날에 물리2 공부할 때 양자역학 부분이 설명이 너무 없고 좀 짜증났던 기억이 있어서, 혹시 물2갤에도 나같은 새기들 잇을가봐 약간 설띵을 해주려고 함.

무한퍼텐셜 에너지 우물, 수능 물리2 양자역학 부분에서 가장 자주 나오는 문제 유형이잖아? 근데 여기가 설명이 존나 부실한거 물2러들은 다 알거임. 대부분의 인강, 학교수업에서는 그냥 외우고 쓰라고 하잖아? 이거에 대해서 좀 얘기를 해 줄게.

일단 이 문제의 핵심은 이 공식인데,

이 공식을 유도하려면 아주아주 기초적인 미분방정식에 대한 이해가 필요함.

미분방정식이 뭐냐면, 방정식은 방정식인데, 해를 구할 때 값을 구하는 게 아니라, 함수를 구하는 방정식임. 근데 그 방정식이 함수에 대한 미분 꼴로 이루어져 있는 거지. 간단한 미분 방정식의 예를 들어 볼게.

이런 조건을 만족시키는 함수 를 구하는 걸 미분방정식의 해를 구한다고 함. 수학문제 좀 많이 풀어본 사람은 알 수도 있는데, 저런 미분방정식의 해는

꼴이 나온다. 넣어보면 성립한다는 걸 알 거임. e^x 는 미분하면 자기 자신이고, 어차피 상수 A는 미분을 빠져나오니까 등호에 영향을 안 주겠지?

그러면 조금 더 복잡한 미분 방정식을 풀어 보자고.

두 번 미분해도 자기 자신이 나오는 새기가 누가 있지?

뭐긴 뭐야 e^x 꼴이지, 이쉑은 무한 번 미분해도 자기 자신이잖아? 근데, 여기서는 하나가 더 추가됨. 고것은 바로 e^(-x) 꼴이야. 이넘은 미분때리면 마이너스를 토해내지만, 그걸 두 번 때리면 결국 마이너스가 상쇄되잖아? 그래서 이넘도 해에 포함된다.

아니 그럼 해가 어케생겼노 시발련ㄴ아

해는 위에처럼 생겼다. 넣어 보면 성립하는 걸 알 거야. 저기에 포함 안되는 해가 있으면 어떡함? 하고 물어볼 수도 있는데, 저 미분방정식의 모든 해는 위의 해에 포함된다.

증명 어떻게 하냐고? 그것은 수학과 너드들이 이미 증명하였다. 헐 데박 완전 수학과 색기아녀

그러면 이번에는 이런 미분방정식을 풀어 보자.

우리가 아는 친숙한 함수들 중에서, 두 번 미분하면 자기 자신에 –부호를 붙인 것과 같게 되는 함수가 뭐가 있을까? 이거는 바로 감이 안 올수도 있는데, 그건 삼각함수야. sinx나 cosx를 생각해 봐, 두 번 미분하면 각각 –sinx, -cosx 가 되잖아? 그래서 위 미분방정식의 해는 y’‘=y의 해와 비슷하게, 다음과 같이 나타난다.

마찬가지로 이 미분방정식의 모든 해는 다 위의 해에 포함된다. 증명은 역시 수학과 칭구들이 해줫서ㅎ

여기까지 무리 없이 따라 왔으면, 앞에서 봤던 미분방정식들의 약간 변형된 꼴들,

같은 것들도 무리 없이 풀 수 있을 거야. 한번 풀어봐. 답은 뒤쪽에서 공개하겟슴미다.

자 그럼 이제 당신은 공식을 유도할 준비가 되셨읍니다. 바로 공식 유도로 들어가 보자구

물리2에서는 거의 강조되지 않지만, 슈뢰딩거 방정식 이라는 내용이 있잖아? 이 슈뢰딩거 방정식이 사실상의 양자역학에서 F=ma 같은 존재라고 보면 돼. 양자역학의 상황을 분석할 때 거의 필수적으로 활용되는 쉑이지. 어떤 퍼텐셜에너지 V(x) 가 주어지면, 그거에 맞는 Ψ(x)함수를 구하는 미분방정식이야.

(참고) 시간에 무관한 퍼텐셜 에너지에 대한 슈뢰딩거 방정식:

(아 오타 ㅈㅅ;; -V(x)가 아니라 +V(x)임)

우리는 무한 퍼텐셜 에너지 우물을 다루기로 했으니까, V(x)를 다음과 같이 놔 보자구

위처럼 V(x)를 두면, 0≤x≤L에서, 길이가 L인 무한 퍼텐셜 에너지 우물이 생길 거야. 이제 범위에 따라 Ψ(x)를 구해 보자. 일단 V(x)는 시간에 관련 없으니까, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰자. 수특에도 아마 나와있을거다.

i ) x＜ 0, x ＞L 일 때

우리가 잘 알고 있듯이, 에너지 E는, 퍼텐셜 에너지 V를 포함하잖아? 근데 퍼텐셜 에너지가 무한대로 가네? 그러면 당연히 E도 무한대로 가겠지? 그 말이 뭐냐면, 어떤 입자의 에너지가 무한대로 발산한다는 거야. 근데 싀상에 그런게 어딧서?

즉, 이 위치에서는 입자가 존재할 수 없다는 거야. 그니까 이 위치에서는 입자가 존재할 확률 |Ψ|^2=0 이 되어야 해.

그래서, x＜ 0, x ＞L 에서 Ψ(x)는 다음과 같아.

Ψ(x)=0

아주 쉽죠?

ii ) 0≤x≤L 일 때

여기에서는, V(x)=0 이니까, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있어.

이를 정리하면

가 될 거야. 여기에 다음과 같은 문자 k를 도입해서, 간단히 나타내 보자고.

하와와~ 앞에서 얘기했던 y’‘=-(a^2)y 꼴 미분방정식이 되어버렷자나? 이 꼴의 미분방정식의 해는 다음과 같이 나타나.

당신이 푼 게 맞았나요? 맞았다면 기뻐하셔도 조습니다.

그럼 이 해를 적용하면, Ψ(x)는 다음과 같이 나타나겟죠?.

이제 거의 다 끝났어. 몇몇 조건을 고려해서 A, B의 값을 결정해 주면 돼.

① Ψ(x)는 연속이어야 한다.

Ψ(x)가 연속이어야 한다는 게 직관적으로 이해가 되는 사람도 있겟지만, 만약 아니라면 맨 뒤에 설명을 해 두겟으니 참고하도록.

② |Ψ(x)|^2는 확률밀도함수

여기서 짚고 넘어가야 할 점이 있어. k=nπ/L (n은 정수) 가 의미하는 게 뭘까?

아까 분명히 k는 다음과 같이 정의했었어.

근데 k=nπ/L (n은 정수) 라는 건, E 값이 몇몇 유한한 값으로 제한된다는 거야. 즉 E가 양자화 된다는 것이죠.

그러면 E를 En으로 바꿔서 나타낼 수 있을 것임. 그리고 그 En 값에 따른 파동함수 Ψ(x) 또한 Ψn(x)로 표현할 수 있겟죠?

즉, 아래와 같은 식이 성립하게 됨미다.

근데, ħ=h/2π 이니까, 다음의 우리가 얻고자 했던 식이 최종적으로 유도가 완료됨.

유도 끄읕.

사실 양자역학에서는 거의 이런 식으로 양자현상을 분석해. 에너지의 양자화, 에너지띠, 오비탈...등등 사전에 주어진 V(x)를 바탕으로 Ψ(x)를 풀어내거든.

그런데 물리2에는 그런 내용이 너무 빈약하고 단순 암기 단원으로 전락해 버려서, 그런 점이 너무 아쉽다는 생각이 대학에서 공부하면서 들더라고. 조금 어렵긴 하지만, 물2붕이들이 양자역학 파트를 이해하는 데 도움이 되었으면 조켓다.

번외) 어째서 Ψ(x)가 연속인가?

슈뢰딩거 방정식을 조금 변형하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(-ħ^2/2m)Ψ″(x)=(E-V(x))Ψ(x)

즉, V(x)가 불연속이면, Ψ″(x)가 불연속이다. 하지만 일반적으로, Ψ″(x)가 불연속이어도, 그 불연속점의 개수가 유한하면, Ψ′(x)는 연속이다. 따라서 Ψ′(x)가 연속이므로 Ψ(x) 또한 연속이다.

[슻붕(ypooh2062)]

깨진거 수정 완료

[익명(119.206)]

칼럼 퀄리티가.. ㄷㄷ 감사합니다!!

[슻붕(ypooh2062)]

저기 i ) 부분이 자꾸 깨지는데, 'x>L, x' 가 아니라, 'x>L, x<0 일 때' 임.

[슻붕(ypooh2062)]

수정 완료

[익명(1.246)]

Amazing

[익명(115.138)]

감사합니다 그런데 추천이 12개뿐이노