[📃칼럼] (수능에도움안됨) 중력 '진짜로' 끄기

[익명(211.177)]

*수능 3주쯤 전에 쓰는 글이지만 수능에 아무짝에 도움 안 됩니다.

*수험생이라면 갤 끄세요.

*혹시 이미 비슷한 내용이 있거나 중복이면 알려주세요....

종종 '중력 끄기'라는 스킬이 갤러리에서 나옵니다. 가속운동(특히 포물선) 종료 시점에서 '중력에 의한 연직 아래방향 변위벡터'를 물체의 변위벡터와 분리해 평균, 나중변위벡터를 편리하게 구할 수 있습니다.

단순하게 처음변위벡터를 반직선으로 연장하고, 포물선 종점에서 연직 위방향 직선을 그림으로써 만들 수 있어 쉬울 뿐더러, 처음변위벡터(와 나중변위벡터)는 일반적으로 30˚, 45˚, 60˚의 특수각으로 주어지므로 중력에 수직 또는 평행한 보조선을 그어 벡터의 길이비(이동거리비, 속력비)를 구하기 쉽습니다.

또한, 그냥 무작정 계산하려 들어가는 것보다 기하적으로 접근하는 것이 풀기에도, 푸는 방법을 생각하는 데에도 훨씬 쉬운 경우가 많습니다.

즉, 훨씬 직관적이라는 것이죠.

(중력끄기 예시, LLSRK, https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=physics2&no=3350)

물론 이것은 벡터의 선형성과 평균변위벡터의 특징 - 시점과 종점을 잇는 벡터임 - 으로부터 자명합니다.

이러한 중력 끄기를 아래와 같이 해석할 수 있습니다;

어떤 질량 m이 균일한 중력가속도 g가 작용하는 장에서 지평선과 θ의 각도를 지닌 초기속도 v0(이하 아래첨자 표시 때 '_'자는 생략하겠습니다)로 던져졌을 때, 물체의 운동종점을 안다면 v0의 연장선과 운동종점에서 지평선에 수직인 직선의 교점 P를 구할 수 있다. 이때, 운동시점으로부터 가속도가 0인 질량 m을 v0로 투사하는 동시에 교점 P에서 속력이 0인 질량 m을 자유낙하시키면 v0로 투사된 m이 P점에 도달할 때 자유낙하한 m이 운동종점에 도달한다.

(운동벡터를 분할했다면 운동을 분할한 것으로 생각해도 됩니다. 두 분할한 운동이 같은 시간 t동안 진행하므로 동시에 시작하여 동시에 끝난다고 볼 수 있습니다.)

하지만, 지금부터 '진짜로 중력을 끄는' 중력끄기를 보여드리고자 합니다.

사실 거창한 건 아니고, 기준좌표계를 지면에서 연직 아래 방향으로 g의 가속도로 운동하는 비관성좌표계를 택하는 것입니다.

정작 결론은 기존의 중력끄기와 다를 바가 없습니다만, '필요없는 걸 지우는' 수학적 사고를 보여드릴 수 있기를 기대합니다.

들어가기에 앞서, 상대성 원리와 등가 원리는 알고 계시리라 믿습니다.

'모든 관성좌표계의 동등성'과 '중력과 가속운동의 동등성'에 관한 것입니다.

따라서, 우리는 언제나 중력이 없는 대신 등가속도 직선운동(원래의 계에서 중력가속도가 위치에 관계없이 일정할 경우)하는, 임의의 초기속도의 좌표계를 기준좌표계로 설정할 수 있습니다.

또한 앞서 제시한, 중력 끄기에 대한 하나의 역학적 해석을 생각합시다. 즉, 등속도 벡터와 등가속도 벡터의 두 벡터로 물체의 운동을 분할했을 때(또는 vt와 (gt^2)/2으로 분할했을 때), 그것은 양 벡터의 시점에서 동시에 물체를 v0, 0의 속도로 포사하면(즉 어느 하나는 자유낙하시키면) 두 물체의 운동이 동시에 종결하는 것입니다....

생각해 봅시다. 모든 저항과 마찰을 무시하고, 어떤 질량 m을 지표면에서 각 θ의 v0로 포사합니다. 우리는 이것이 포물선-포사체 운동하리라는 것을 압니다. 중력이라는 유일하고 일정한 가속도가 존재하기 때문이지요.

하지만 모든 물체에 대하여 중력을 무시하면, 즉 중력을 '끄면', 물체의 가속도가 0이므로 등속직선운동해야 합니다. 아니, 그렇다면 무한히 운동하게 되지 않을까요? 이것은 현실과는 너무나 다릅니다!

... 우리는 위에서 사실 모든 '물체'의 중력을 끄지 않았음을 고려해야 합니다.

우리는 '지표면'의 중력을 끄지 않았기 때문에 저러한 오류를 범하고야 만 것입니다.

다시 생각해 보자면, 물체는 등속직선운동 하겠으나, 정지해 있던 지표면이 연직 위 g의 가속도(이것을 g라고 칭할 필요는 없습니다. 중력가속도와 크기가 같으므로 편의상 이렇게 쓸 뿐입니다. 엄밀한 표현으로는 -g가 옳겠습니다)로 운동합니다. 어느 순간 지표면의 속력이 m의 연직방향 속력보다 커지고, 끝내 지표면과 m이 충돌할 것입니다....

세상에, 지표면이 어떻게 움직인다는 것입니까? 라고 물으신다면, 대체 왜 지금까지 지표면에 고정된 좌표계만 이용하셨는지 여쭙고 싶군요.

그러나 분명 지표면이 등가속도 운동하는 것은 이상합니다. 또한, 사실 지표면 자체가 불필요한 것이기도 합니다. 우리는 지표면에 수직, 수평한 방향만을 알고 있으면 됩니다. 지표면 그 자체는 필요 없습니다.

따라서, 우리는 지표면도 '꺼 버릴' 것입니다.

아까의 상황을 다시 생각하면, 물체는 포물선을 따라 운동하거나 등속도 운동하다가 지표면과 충돌하게 됩니다. 이때, 충돌하는 지점을 점 P라고 합시다.

그리고 지표면을 없앱니다.

사실 그렇습니다. 그 넓고 긴 지표면이 당최 어디에 필요하다는 말입니까? 물체의 운동시점조차 벡터시점으로 대체해 버릴 수 있습니다!

그러면 우린 오직 '등속도 운동하는 질량 m'과 '등가속도 운동하는 점 P'만이 존재하는 좌표계를 얻습니다.

이때, 점 P가 질량이 있는 물체(사실 모든 물체의 부피를 무시할 것이므로 점질량) p라고 생각한다면, 이 상황은 등속도 운동하는 m과 등가속도 운동하는 p의, 두 물체(예컨데 공)의 충돌 상황으로 생각할 수 있습니다.

이제 우리는 포물선 운동을 그저 두 물체 - 등속도 운동하는 물체 하나와 등가속도 운동하는 물체 하나 - 사이의 2차원 충돌로 생각할 수 있게 되었습니다.

물론 필요에 따라 위의 가정을 얼마든지 바꿀 수 있습니다. 예컨데, 두 물체가 동시에 떨어지는데 지표면과 만나는 점이 각 다르다면, 점과 같은 p 대신 길이가 충분히 긴(다만 부피는 여전히 0인) 선 또는 물체 p를 생각할 수 있습니다. 어떤 길이의 선 - 또는 직선 - 이 등가속도 운동하며 등속도 운동하던 두 물체를 동시에 타격합니다.

이외에도 두 물체의 운동종점이 (지표면 기준에서) 서로 다르다면, 우리는 길이가 있는 p를 생각할 수 있습니다.

만약 두 물체의 운동종점이 높이마저 다르다면, 지표면에 평행한 선 대신 다른 다양한 모양의 p를 생각할 수 있습니다. 물론 이것은 조건만 만족한다면 어떤 모양이건 전혀 무관합니다.

(혹시나 해서 첨언하자면, 두 물체 사이의 중력은 무시할 수 있습니다. 여전히 중력상수 G는 두 물체 사이에서 유의미하기에 너무 작으며, 또한 우리가 비관성좌표계에 있음을 유념해야 합니다.

여전히 균일하고 무한한 중력장 안에 갇혀 있으며, 따라서 너무 작은 가속도는 중력가속도 벡터에 묻혀 사라지고 말 것입니다.)

이 방법의 가장 유용한 점은, 첫째로 여러 물체가 낙하하고 있을 때 각 물체에 대한 중력가속도에 의한 벡터(g이건, gt이건, 0.5gt^2이건)를 무시할 수 있다는 것입니다. 중복을 피하기에 적절합니다.

둘째로, 지표면 등이 아닌 같은 가속도를 지닌 물체들 간의 역학적 상황을 해결해야 한다면, 정말로 가속도가 없는 그저 등속도 운동들의 분석에 불과하게 만들 수 있습니다.

셋째로, 물체당 두 개의 벡터를 갖는 중력 끄기와 달리, 물체당 한 개의 벡터만을 가지므로 더 직관적입니다.

다만 사용 시 유의하여야 할 점이 있는데, 첫째로 중력이 소거되는 물체보다 중력이 소거되지 않는 물체(지표면 상에서 운동하는 등)가 더 많다면 중력 끄기가 훨씬 효율적이라는 점입니다.

둘째로 '속도'가 중요하게 사용된다면 사용하지 않는 것이 좋습니다. 가속도를 빼 버렸기 때문에 (상대속도야 유지되겠지만) 속도 간의 각도 등이 틀어지게 되기 때문입니다. 일례로, 210920(서로 바라보고 발사한 물체의 충돌점에서 속력이 같고 속도의 각이 90˚)과 같은 경우, r에 연직 위 방향 g의 가속도를 부여하고 중력을 무시하면 두 물체는 r에서 만나긴 하지만 180˚이고 속력 또한 다릅니다. 이를 해결하기 위하여 r에서의 상대속도를 구할 필요가 있는데, 이럴 바에야 안 하느니만 못합니다.

그렇다면 실제 예시를 보여드릴 수 있도록 하겠습니다. 우선 위의 사진의 예시의 경우,

(삼성 노트로 작성하여 너무 긴 점은 부디 양해를 구합니다.)

직각이등변삼각형 안의 수직이등분선과 이등분선 표시는 단순히 이등변삼각형임을 강조하기 위해 표시한 것으로, 무시해도 됩니다.

두 물체가 v0의 속력으로 등속도 운동하고, t1의 시간동안 점 p가 g의 가속도(앞으로도 이렇게 쓰겠습니다. 크기는 g와 같고 방향은 반대이지만, 편의상 이렇게 씁니다)를 갖고 v(0) = 0에서부터 등가속도 직선운동합니다. h의 거리를 지나 v0이 지표면과 수평한 물체를 만난 후, 그대로 더욱 가속하여 v0이 지표면과 π/4의 각을 이루는 물체를 만납니다.

물론 예시를 보여드리고자 푼 것으로, 이 문제의 경우 중력끄기가 더 효율적일 것입니다.

다음은 24년도 9월 모평 20번입니다. 중력 끄기로 풀면

으로, t=2t1=2t2를 구하여 풉니다. 아래에 직각삼각형의 한 변과 v0로 이루어진 벡터들의 길이를 한번 더 그렸으니, 실제 풀이는 이것보다 짧게 풀 수 있을 것입니다.

어디까지나 엄밀하게 풀기 위하여 노력했다고 보면 되겠습니다.

다음은 진짜로 중력을 무시하는 풀이입니다. 단, 처음 빗면에서 가속하는 물체에 대하여는 중력을 뺄 때 주의하여야 합니다. 빗면에서 가속할 때에는 가속도가 중력가속도 g가 아니기 때문입니다.

물론 여기 계신 분들이라면 가속도의 크기가 gsin(π/6) = 0.5g이고 θ = π/6에서 지표면과 π/3의 각을 이루는 (√3/2)g를 쉽게 구할 수 있을 것입니다.

실제로 이 방법으로 풀이한다면 위의 가속도를 빼는 부분은 생략해도 될 것입니다.

이 문제는 중력을 무시하기 굉장히 편한 문제로, 두 물체의 운동종점이 지표면 상에 존재하나 실질적으로 그것이 전혀 중요하지 않기 때문입니다.

두 물체의 경로상 교점이 존재한다는 것만 생각해도 됩니다. 마치 '세 직선의 교점'이라 하면 세 직선 중 두 직선의 교점을 구하여도 되는 것과 같습니다.

또한, 사실 직선 상에서 (0). 정지 -> (1). 등가속도운동 -> (2). 등속도운동으로 이행할 경우 등가속도운동이 멈추는 점이 직선을 1:2로 내분할 때 그 점에서의 시간이 전체 운동 시간의 절반이므로, 위에서와 같이 과다하게 그리거나 풀 필요는 없습니다.

혹시 여기까지 보신 수험생 분들이 계시다면 무운을 빌겠습니다.

[조휴일(son1029384756)]

일단 개추

[서해안(boksuon)]

과외받고싶어요 ㅠㅠ