고등물리 과정 중 '이상적인 솔레노이드'를 다룰 때, 그것의 '길이'에 대한 언급이 없었을 겁니다.


아마 당연히 어떤 원통의 표면적을 따라 적당하게 만들어져 있다고 생각하겠지요(애초에 그림을 그렇게 그려주니까 그렇게 생각하는 것이 당연합니다).


물리학적으로 이러한 '이상적인 솔레노이드'가 가능한 경우를 생각하면 - 즉, 권수 N이 몇이건 솔레노이드 전체 길이와 유도기전력이 관계없는 경우 - 실제에서는 어떠한 형태인지 생각해 봅시다.


우선 권수 N = 1인 경우를 생각하면, 단일 폐회로에서 자기장에 의한 유도기전력이 발생하는 것을 생각할 수 있습니다. 그렇다면, Ε = -NdΦ/dt에서 상수 N을 제하면 dΦ/dt를 결정하는 인자는 무엇일까요?


우선 속도는 당연히 참입니다. 특히, 자석과 솔레노이드 간의 상대속도가 중요합니다. 고등학교 과정에서 솔레노이드의 축과 직선인 자기력선의 하나가 일치하고, 자석과 솔레노이드 간의 상대속도가 해당 축과 평행한 상황만을 가정합니다.


또한 자기력선이 곡률이 일정하지 않은 곡선이므로, 폐회로의 반지름 또한 관계있을 것입니다.

(이것을 보이는 가장 쉬운 방법은 반지름이 0일 때와 ∞일 때를 각각 비교하는 것입니다. 0일 때 자속이 0이고 자속변화 또한 0입니다. ∞일 때 자속은 최대(해당 면에 있는 모든 자기력선이 폐회로를 지나므로)이고 자속변화는 존재합니다. 따라서 반지름은 관계 있음을 보입니다.)


이때, 오직 '자석과 폐회로 간의 상대속도', 그리고 '폐회로의 반지름'만이 dΦ/dt를 결정한다고 합시다(고등물리 수준에서 이렇게 가정합니다. 반지름의 경우 물리 교과에서 다루지는 않으나 우리는 이것이 필요함을 보였습니다).


그러하다면, 정지한 자석 기준좌표계에서 반지름이 r인 폐회로가 무한직선자기력선에 평행하게 왕복합니다. 앞으로 이 선을 z축으로 부르겠습니다.


v만이 dΦ/dt를 결정한다면 시간에 따라 위치가 바뀌고, 이로 인해 Φ가 바뀌는 것인데, 자석으로부터의 자기력선은 시간에 불변이고, 폐회로의 자기장 또한 시간이 불변이므로 Φ는 오직 s에만 관계됩니다.


따라서, 이러한 폐회로가 z축에 평행하게 배치되고 연결되어 있는 솔레노이드에 대하여, 권선수 N이 자연수라 하면, 반지름이 r로 일정한 코일들간의 z좌표차(=간격) d가 0보다 크고 일정할 때 코일마다 자속이 다르므로, 솔레노이드 양끝단의 코일 간의 자속차가 존재합니다.


(당연하게도) 위치에 따른 자속은 s에 대한 일차식이 아니므로 이 자속차는 상쇄될 수 없습니다.


그렇다면, 이상적인 솔레노이드에 대하여 오직 하나의 경우밖에 없다는 결론에 도달합니다.


'이상적인 솔레노이드'란, '두께가 0인 도선으로 만들어진 코일이 반지름 r > 0을 갖고 N번 감겨있을 때, 솔레노이드를 이루는 모든 코일의 z좌표가 같은 솔레노이드'인 것입니다!


그렇지 않은 어떠한 경우에서도, 솔레노이드 양끝단 코일 간의 자속차를 무시할 수 없습니다.


따라서, 정말 단어 그대로 본다면 여기서 더 이상 '촘촘하게' 코일을 구성할 수 있는 방법이 없다는 것을 알 수 있겠습니다.


(솔레노이드의 길이 L이 주어졌을 때, 사실 길이가 L인 직선 도선의 중앙 지점에서 N번 감은 솔레노이드를 생각하는 것이 적절하겠습니다.)





물론 문제의 학생의 경우, (아무리 봐도 솔레노이드에 의한 자기장의 세기 공식과 햇갈린 듯하지만) 시험 문제에는 두께가 0이고 코일간격 d = 0인 솔레노이드가 그려져 있었을 리 만무하므로, '간격을 좁힌다'던지, '간격을 촘촘하게 하기 위해 도선을 더 감는다(아마 이게 가장 학생의 의도와 비슷한 표현 같습니다)'던지의 생각을 쓴 듯합니다.


그리고 위 가정으로부터, '일부분만 촘촘히' 도선을 배치하는 것 또한 불가능합니다. 따라서 위 논리로 학생의 답을 오답으로 평가했다면, 교사분의 논거 또한 틀린 것이 됩니다.


당연하게도 학생과 교사 모두 이러한 논리는 생각하지 않았을 것이므로 의미 없습니다.