[❓️질문] f(g(x))=x 에 대하여

[jaG(sintobeseen)]

오늘도 만족스러운 공부하세요

아까 질문올린사람인데

https://m.dcinside.com/board/physics2/57749

이런식으로  f(x)=x^3-3x^2이라고 두면 g(x)는 f(x)를 y=x에 대칭시킨 도형에서 한 점을 선택한 꼴로 나온단말이야

(= 무조건 불연속)

그럼 아까 이문제에서 g(f(x))=x라는 조건을 추가해도 되겠지만

'g(x)는 연속이다' 이 조건을 추가해도 되지 않아?

댓글로 쓰기에는 너무 길어서 글 새로씀

물리학2 갤러리 ㅎㅇㅌ

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[jaG(sintobeseen)]

f(g(x))=h(x)라 간단히 쓰겠음 h(x)=x식에서 예를 들어 x=-2일때 위 식을 만족하려면 g(-2)의 값은 본문 그림의 점 D나E나F의 x값과 같아야됨 따라서 이를 y=x에 대칭시키면 점A,B,C가 나오는거고

[jaG(sintobeseen)]

마찬가지의 논리로 함수g(x)는 함수f(x)를 y=x에 대해 대칭시킨 도형의 일부가 됨

[익명(223.38)]

ㅇㅇ맞음

[익명(223.62)]

참고로 g가 함수라서 (가) 조건을 f(g(x))=x가 아니라 g(f(x))=x라고만 써도 f가 일대일함수임이 보장됨

[jaG(sintobeseen)]

근데 f(g(x))=g(f(x))=x이면 g(x)는 f(x)의 역함수이다를 어떻게 증명해? 그냥 참인 명제야? - dc App

[익명(223.33)]

f랑 g가 일대일함수니까 역함수 각각 합성하면 됨

[익명(182.215)]

f (g(x))=x g(x)=y라고 치환해 그럼 f(y)=x라는 관계식도 나옴 f 위에 점들은 (y,x)고 g 위에 점들은 (x,y)가 돼 즉 y=x대칭임 둘이 그럼 f가 역함수가 존재해야함 그래야 g가 함수가 되기 때문에 - dc App

[익명(182.215)]

즉 오류가 아님 - dc App

[익명(182.215)]

f(g(x))=x 이 방정식은 f와 g가 y=x 대칭이란 것을 뜻하는거지 역함수라고는 단정 지을수는 없음 하지만 y=x 대칭과 필요충분조건 맞음 - dc App

[익명(182.215)]

저 문제에서는 두 함수 f g라 했기에 역함수라고 단정지을 수 있는거임 f가 일대일대응이기 위한 a범위 구해서 하나 솎아내는 문제인거지 - dc App

[jaG(sintobeseen)]

ㄴㄴ 님이 말한대로 y=x에 대칭인 도형까진 맞는데 함수이기에 그 도형의 일부임 그래서 경우가 2가지로 나어기에 오류임 - dc App

[익명(182.215)]

모든 실수 x에 대해 성립한다 했으므로 g는 실수 전체에서 함수여야해서 f가 일대일대응이라는 조건으로 이어지는거임 a값 2개 중 하나 지워진다는거지 삼차함수는 일대일대응일수도 있고 아닐수도 있어서 - dc App

[jaG(sintobeseen)]

그니까 g(x)가 함수이기 위해서 f(x)가 일대일 대응일 필요는 없음 위에 지오지브라 그림 보고 잘 생각해보셈 - dc App

[익명(182.215)]

저 지오지브라 그림에서 g는 함수가 아님 - dc App

[jaG(sintobeseen)]

아니 그니까 저 도형에서 x=-2 일때를 예시로 선을 그어놨잖아, g(x)가 함수이기 위해서는 점A,B,C 중에서 하나만을 선택적으로 가지면 되고 g(x)가 불연속함수이고 역한수는 아니지만 (가)조건을 만족함 - dc App

[익명(182.215)]

g가 저런식으로 하나만 가지면 f는 실수 전체 집합에서 함수가 안됨 정의역이 언급 안되어있으면 정의역은 실수 전체로 보는게 맞고 - dc App

[jaG(sintobeseen)]

https://m.dcinside.com/board/physics2/57808
그림그려옴 - dc App