[일반] 4차원 이상에서 각도는 어떻게 정의됨?
붕옥아이젠(godgodgod96)
2024-02-07 16:51
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똑같이 cos^-1(내적/노름) 아닌가
(v•w)/(||v|| ||w||)
세타 값을 정확히 알수는 없잖아.
왜정확히모름
아무 벡터나 만들고 계산해봐. ㅈㄴ 직관적인 가령 [1,0,0,0] [0,1,0,0] 이런 것만 구할 수 있잖아
아닌가?
임의의 벡터 사이의 cosine값을 계산할 수 있다면, 그 역연산으로 해당하는 각도들을 계산하는게 가능할 거라고 생각했는데 고차원에서 각/각도의 정의를 모르다보니 역연산이 정의가 가능한지 자체를 모르겠노.
심지어 cosine 자체도 1ㄷ1함수가 아니잖아
벡터 사이의 코사인값이 아니라 두 벡터의 내적이랑 노름을 저렇게 계산해서 나온값을 arccos에 집어넣는다는 건데
-pi부터 pi로 자르면되지 뭐가문제임
[0,pi]로 자르면 된다는 거지. ㅇㅇ
아 0부터 pi
계산으로 구할 수 있겠따는 건 알겠는데... 일반적인 경우에서 벡터 2개는 세 점을 만들게 되잖아.(시작점이 같고, 두 벡터의 끝점 2개) 그래서 하나의 평면을 만드는게 확실해지는데 4차원 이상에서는 여러가지 케이스가 나오지 않을까?
평면을 그냥 P+sv+tw로 정의하면 되잖아
각을 구하는데 두 벡터가 만드는 평면이 중요함?
구한 각이 두 벡터 사이의 각인데 다차원에서 다양한 케이스로 plane이 만들어진다면 그 중에 뭐가 맞는건지 모르잖아.
근데 생각해보니깐 다차원이여도 ... 만들어지는 평면은 하나인 것 같넴.
내적이랑 노름만 갖다쓰는데 평면이 뭔상관임 진짜모름
아니 평면을 정의하기 위해서는 평면 상의 한 점이랑 법선 벡터가 필요하다고 배웠음. 내적과 노름으로 세타를 구할 수 있는건 알겠는데 그걸로 완전히 평면을 정의할 수 없잖아. 그런 상황에서 다양한 케이스의 평면이 나온다면 구한 세타가 어디를 의미하는 건지 모르는 상황이 되니깐
왜 자꾸 평면에 집착하는지 모르겠는데 벡터 두개 있고 내적이 있으면 각은 저렇게 정의할수 있지 않음? 각 정의하는데 평면이 필요함?
아까도 말했듯이 평면이 필요하면 그냥 P+sv+tw로 만들면 되고
벡터 간의 유사성을 측정하는 기준으로 cosine similarity를 많이 사용하는데, 나는 이게 두 벡터 사이의 각도를 직접 측정하는 것이 힘들기 때문에 간접적인 지표로 사용하는 것이겠지 라는 러프한 생각을 가지고 있었음. 암튼 그래서 만약 정확한 각도를 측정하는게 가능해진다면 그 각의 의미도 중요하지만 그로 인해 평면이 완전히 정의가 되는지가 궁금했음. 그러면 theta similarity를 새로운 기준으로 사용가능하니깐
근데 너랑 얘기해보면서 그냥 cosine 유사도의 장점은 inner product만 계산하면 되는 상황이라 계산량이 줄어든다는 장점이 있어서 굳이? theta 유사도를 사용하지 않는거라는 걸 알게됨.
span({v1，v2})에서만 생각하면 되는거라 3차원이든 4차원이든 상관없음
참고로 법선벡터로 평면 결정된다는건 3차원에서만 해당하는 말임. 일반적으로 법선벡터 1차원과 수직인 공간은 (n-1)차원
span({v1,v2})는 v1이랑 v2가 평행하지 않는 한 차원에 상관없이 2차원이고
완전 이해했음. 내가 이상하게 생각했네. 다 차원이면 여러 케이스가 나온다고 생각했음.
근데 일반적으로 ~ 저 부분은 추가 설명 해주면 고맙겠음
고등학교 수준에서 설명하자면 n차원은 n개의 직선이 서로 수직으로 만날수 있잖음. 그럼 법선벡터 포함해서 n개의 직선이 서로 수직으로 만날 수 있고 법선벡터와 수직인 공간은 n개의 직선에서 법선벡터를 제외한 나머지 직선들로 이루어지는 공간이니까 n-1차원.
좀 더 엄밀하게 알고싶으면 직교여공간 검색해보셈
붕옥햄이 진지하게 수학적인 정의에 대해서 토론하는 모습을 보니 갑자기 좀 멋있어 보이네