우선 현재 2015 개정교육과정 미적분에서 수열을 어느정도로 다루는지를 알아보자.



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위에 보듯이 극한의 정의는 일단 직관으로 이해하는 수준에서 그침. 교과서를 보면 상수수열, 1/n, 2^(-n)과 같은 아주 단순한 수열들은 극한값이 존재한다고 직관적으로 이해하고 넘어감. 사실상 1/n, a^(-n) (0<a<1)의 극한값은 0이다라는 사실이 주어진 셈.


그럼 사실상 '교과내 엄밀한 증명'이란 말이 모순인거 아닌가? 할 수 있는데 다행히 교과서에 몇 가지 극한의 성질이 실려있음.



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우선 극한값의 사칙연산. 당연이 증명따위는 없고 직관적으로 그렇다 치자~ 하는정도. 이건 수렴성을 모르는 어떤 수열 x_n이 위에서 수렴한다고 '알려진' 상수수열, 1/n, a^(-n)과 같은 것들의 사칙연산으로 구성된다면 x_n의 수렴성이 보장되고 그 값을 구할 수 있다는 아주 중요한 정리이다.

이것 때문에 1/n^2이 0으로 가고, (2n^2+1)/(n^2-1)이 2로 가는 것 등을 보일 수 있음.


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그럼 어떤 수열 x_n의 일반항을 구할 수 없을 땐 x_n에 대한 수렴성을 알지 못하는가? 다행히 미적분 교과서에선 위의 사진처럼 샌드위치정리(Squeeze Thm)를 넣어줘서 이걸 할 수 있게 만들어놓음. 


이게 다임!!


일반항을 구할 수 없는 수열의 수렴성을 고등학교 교육과정 내에서 엄밀하게 보이는건, 사실상 수열 사칙연산 정리와 샌드위치 정리를 쓰는 수밖에 없음.




그런데 갤 좀 돌아다니면서 올라온 30번 증명글들은 a_n+1-a_n이 pi로 수렴함을 보이는 과정에서 아래 두 정리 중 하나를 썼음. (혹시나 Squeeze Thm만 써서 증명한 글 있으면 제보 부탁)


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두 정리 모두 고등학교 교육과정에서는 다루지 않는 정리들이다. (단조 수열 정리는 있는 교과서도 있는데 없는 교과서도 있음)

두 정리 다 직관적으로 보면 당연한 내용이라 무심코 썼을텐데, 아마  a_n+1-a_n이 pi로 수렴하는건 직관적으로 이해하고 넘어가는게 출제 의도였을지도 모름. 애초에 교육과정에서 수열의 극한을 직관적으로만 이해하기 때문. 


근데 수능에서 이런 수준의 직관을 사용하는 문제가 나오는건 좀 우려스러움. 대학교에서 배우는 수열과 관련된 정리들이 엄청나게 많은데, 그 중 어떤 정리가 '직관'을 빙자하여 튀어나올지 모르기 때문이다. 이 부분은 사걱세가 지적해도 솔직히 평가원에서 할 말 없다고 생각함.