[일반] 기하 문제 풀이(피직스와 다른 버전)

[익명(218.153)]

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기하 문제 풀이

대충 저런 문젠데 저걸 꼭 복잡하게 작도하고 자시고 할 필요 없어용. 그냥 법선 벡터를 기준으로 생각해도 됩니당.


평면 k 위에 반지름 3인 원 R이 있다고 생각하십시오. 원의 중심에서 원의 자취 위의 한 점을 잇는 벡터들을 b라 표현할게요. 그리고 평면 k에 있지 않는 점 O에서 원의 중심에 찌르는 벡터를 a벡터라고 할게요.


문제는 평면 (평면 k의 법선 벡터)와 (a벡터와 b벡터가 이루는 평변의 법선벡터) 의 cos 값의 최대 찾는 문제가 됩니다.


A벡터와 b벡터가 이루는 평면의 법선 벡터는 어떻게 구할 수 있을까요? A벡터를 법선 벡터로 가지는 평면과 b벡터를 법선 벡터로 가지는 평면이 만나서 생기는 직선이 법선벡터가 되지요.


A벡터는 고정인데 b벡터는 여러 가지 경우의 수가 있습니다. 따라서 일단은 그냥 a벡터와 수직인 평면을 생각합시다. 그 평면 위에서 그을 수 있는 직선이 (a벡터와 b벡터가 이루는 평변의 법선벡터)의 후보가 되는 것이지요.


근데 사실 평면 위에 그을 수 있는 모든 직선이 전부 다 (a벡터와 b벡터가 이루는 평변의 법선벡터)가 될 수 있습니다. 이 부분에 대한 증명은 뒤에 하고요 일단 저게 증명된다 치면 존나 간단한 문제가 되는 건 이해하겠죠?


저걸 증명 못 하더라도 cos 값이 최대가 되는 평면 위에서 그을 수 있는 직선 찾고 거기에 대응 되는 b벡터가 존재하냐만 보더라도 문제 해결이죠.


하여간 이제 (a벡터를 법선 벡터로 가지는 평면 위에서 그을 수 있는 모든 벡터)가 (a벡터와 b벡터가 이루는 평변의 법선벡터)됨을 증명햐 봅시다.


(a벡터를 법선 벡터로 가지는 평면 위에서 그을 수 있는 모든 벡터)의 평면을 적절히 잘라 볼게요. 길이 3자리인 원으로 자릅시다. 그러면 길이 3짜리인 원 두 개가 중심을 공유하고 겹치는 게 보이죠. 길이 3짜리인 구에서 두 번 칼질했다 생각할 수 있습니다.



이제는 (b벡터를 법선 벡터로 가지는 평면)을 생각해 보십시오. 이걸 상상할 때도 길이 3짜리인 원으로 재한해서 상상해 보시면 금방 보입니다.


아 이거 b벡터를 이리저리 움직이면서 (b벡터를 법선 벡터로 가지는 평면)을 상상해 보면 길이 3인 구가 되는구나.


그러면 (b벡터를 법선 벡터로 가지는 평면)과(a벡터를 법선 벡터로 가지는 평면)의 교선<a벡터와b벡터가 이루는 평면의 법선벡터>는 결국 (a벡터를 법선 벡터로 가지는 평면 위에서 그을 수 있는 모든 벡터)가 되는구나 쉽게 알 수 있어용


하여간 그렇다구요


a벡터를 법선벡터로 하는 평면에서 그은 임의의 벡터가 어떻게 b와 조합될 때 나올 수 있는 벡터인가도 설명해 보겠습니다. 존나 간단해요 이것도. 임의의 벡터와 평면k의 법선 벡터가 만드는 평면의 법선벡터를 생각해 보십시오. 그게 b벡터입니다.