[📃해설] 어제 올린 문제 풀이

모든 계수가 자연수라는 거는 x가 정수이면 f(x)의 값도 정수라는 거고, 특히 x가 음이 아닌 정수이면 f(x)는 자연수임.

또 f(2)가 홀수면 상수항이 홀수인 것이므로 x가 짝수 (...-2, 0, 2, ...)이면 f(x)값은 홀수만 가능.

박스 조건 만족하는 P가 두 개라는 거에서 이런 그림이라는 거는 찾을 수 있을 거임. x축 위에서 하나, 아래에서 하나.

f(-1) f'(-1) < 0이면 (+) × (-)이거나 (-) × (+)이거나 둘 중 하나라는 거.

f(-1) > 0 이고 f'(-1) < 0이면 함숫값이 양수고 기울기가 음수인 모양인데

이러면 x축 아래에서 P가 생길 수 없음. 따라서 f(-1) < 0, f'(-1) > 0.

f(-1)의 값이 -2보다 작으면 이렇게 두 점 사이 거리가 1이 될수 있으므로 P가 x축 아래에서 생길 수 없음.

따라서 f(-1)은 -1 또는 -2.

f(-1)이 -1일 때를 보면

x=-2일 때, f(x)가 홀수만 가능해기 때문에 f(-2)=-2일 수 없음. f(-2)가 -3이거나 더 작으면 위와 같은 이유로, -1이면 구간 (-2, -1)에서 극소값이 생겨서 x축 아래에 P가 생길 수 없음.

따라서 f(-1)=-2

f(-2)는 홀수만 되기 때문에 -1 또는 1인데,

-1일 때를 보면

f(-3)=0인 경우, 점대칭인 거 생각하면 안 되는 거 알 수 있고

f(-3)=1인 경우는 f(-4)가 홀수라 가능한 모양이 안 나옴.

f(-3)=2이면 가능. f(x) 그래프가 지나는 세 점 정해졌으므로 함수 하나로 결정할 수 있음. 상수항이 홀수, f'(-1) > 0도 만족하므로 이때가 답임.

f(-3)이 3 넘어가면 x축 위에서 P가 생길 수 없어서 불가능.

f(-2)=1이면 f(-3)=2가 되어야 하는데 이때 f(x) 구해보면 상수항이 음수가 나와서 안됨.

글이 좀 길어보이긴 하는데 직접 풀어보면 할만 할거임..

댓글 4