1.f의 실근이 1개인 경우

1-1)한개의 실근과 두개의 켤레복소수를 근으로 가진 경우
f(x)=(x-a)P(x) (단, a는 실수이며 P(x)는 판별식<0이고 최고차항이 1인 이차함수이다.) 이다.
f(k-1)f(k+1)<0 을 만족하는 실수 k의 범위는 a-1
이때 (a-1, a+1)에 존재하는 정수는 1개 또는 2개이므로
위 부등식을 만족하는 정수 k가 존재하므로 성립하지않는다.

1-2)세개의 중근을 가진 경우
f(x)=(x-a)^3 (단, a는 실수이다.) 인 경우도 (1-1)과 마찬가지로
성립하지 않는다.

2.f의 실근이 2개인 경우
f(x)=(x-a)(x-b)^2 (단, a,b는 실수이며 a≠b이다.) 이면
f(k-1)f(k+1)>=0을 만족하는 k의 범위는
k>=a+1 or k=

2-1) a가 정수가 아닌경우
(a-1,a+1)에 존재하는 정수는 2개이므로 그 값은 b-1, b+1이어야
문제의 조건을 만족한다.
a-1b, b>a인 (a,b)의 순서쌍은 존재하지 않는다.

2-2) a가 정수인 경우
(a-1,a+1)에 존재하는 정수는 1개이고 그값은 a이다.
따라서 조건을 만족하려면 a=b+1 or a=b-1이다.
두 경우 모두 a가 정수이므로 b도 정수이다.

2-2-1)a=b+1인 경우
이때 f(x)는 x=b에서 극댓값을 가지고 x=b+2/3에서 극솟값을 가진다.
f'(-1/4)<0, f'(1/4)<0 이므로 점들의 위치관계에 의해
b<-1/4<1/4
위 부등식을 정리하면 -5/12
부등식을 만족하는 정수 b는 존재하지 않는다.

2-2-2)a=b-1인 경우
이때 f(x)는 x=b-2/3에서 극댓값을 가지고 x=b에서 극솟값을 가진다.
f'(-1/4)<0, f'(1/4)<0 이므로 점들의 위치관계에 의해
b-2/3<-1/4<1/4
위 부등식에서 b-2/3을 t로 치환하면
t의 범위는 -5/12
부등식을 만족하는 정수 b는 존재하지않는다.

즉, 1)과 2)에 의해 f(x)는 서로다른 세 실근을 가진다.

f'(-1/4)<0, f'(1/4)<0이므로 f'(0)<0이다.

3)f(0)>0인경우
f(-2)>=0이다.

3-1)f(-2)=0인 경우
f(-1)>0, f(-3)<0이므로 조건을 만족하지 못한다.

3-2)f(-2)>0인 경우
f(-4)=0이면 f(-3)>0, f(-5)<0이므로 성립하지 않는다.
그러면 f(-4)>0이어야 한다.
즉, (3-1)과 (3-2)인 경우를 일반화하면 f(-2m)>0 (단, m은 자연수) 이어야하며 lim m->inf f(-2m)=-inf 이므로 모순이 발생한다.

4)f(0)<0인 경우
f(2)=<0이다.

(4)에서도 (3)에서와 비슷하게 f(2m)<0 (단, m은 자연수) 이어야하며 lim m->inf f(2m)=+imf 이므로 모순이 발생한다.

즉, f(0)=0이다.

5-1)f(-2)=0인경우
f(-1)f(-3)<0이므로 조건을 만족하지 않는다.

5-2)f(-2)>0인 경우
(3-2)와 똑같이 모순이 발생한다.

따라서 f(-2)<0이다.
f(2)의 경우도 (4)와 똑같은 결론에 의해 f(2)>0이다.

f(-1)f(1)>=0, f(1)f(3)>=0, f(-3)f(-1)>=0, f(3)>0, f(-3)<0이므로 f(1)=0 or f(-1)=0이다.

여기까지만 하면 나머지는 경우 나눠서 계산이라 생략하겠습니다.

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