[📃해설] 라피스

[익명(211.177)]

*출제의도 모릅니다 평가기준 모릅니다 모범답안 아닙니다

ㄱ. 트랜지스터 기호로부터 n-p-n형 트랜지스터임을 구하고 따라서 참.

ㄴ. 베이스-에미터 전류는 순방향이므로 문제의 트랜지스터에서 베이스 -> 에미터 방향으로 전류가 흐른다, 따라서 참.

ㄷ. 가변 저항값이 증가하면 가변 저항을 지나는 전류 세기가 약해지고 따라서 I_E가 증가, I_E = I_C + I_B이고 I_B = I_C/β이므로 (1 + 1/β)I_C가 증가, 따라서 I_C가 증가하므로 참.

⑤번.

서술형;

가변 저항값이 증가하면 가변 저항을 지나는 전류 세기가 약해지고 따라서 I_E가 증가한다. 증폭률 β = I_C/I_B이 일정하므로 I_E가 증가할 때 I_C와 I_B 모두 같은 비율로 증가하여야 하는데, 이때 전류의 세기 변화량 ΔI_C, ΔI_B를 생각하면 ΔI_C/ΔI_B = β이고, 즉 ΔI_C > ΔI_B이므로 저항에서의 전압 강하는 콜렉터 단자에서가 베이스 단자에서보다 크다. 원래 전위는 콜렉터 단자에서가 베이스 단자에서보다 높았으므로 두 단자 사이 전위차는 가변 저항값이 증가했을 때 그렇지 않을 때보다 작아진다.

추가 분석(교과외): 물리적인 상황에 접근할 때에는 언제나 에너지 보존을 생각할 수 있습니다. 이론적인 상황만을 가정한다면(즉 도선의 저항이 0), 트랜지스터에 의한 전압강하나 트랜지스터가 사용하는 전기에너지와 같은 것은 교과과정에는 없으나 약간만 생각해 보더라도 유의미한 결론을 도출할 수 있는데, 트랜지스터에서 증폭률이 커지면 커질수록 트랜지스터에 걸리는 전위차는 작아져야 한다는 것입니다.

소비전력 P = IV는 곧 단위 시간당 사용하는 에너지이므로 dE/dt인데, 위와 같은 전압이 일정한 기전력에서 P가 시간에 대하여 불변이므로 P가 증가한다면 곧 E가 증가한다는 결론이 나옵니다. 트랜지스터는 전류를 증폭해 I를 크게 만드므로, 따라서 트랜지스터를 통과하는 전류에 의한 소비전력은 트랜지스터의 증폭률 β가 증가할 때 증가하게 됩니다. 이 상황에서, 만약 β를 무한히 키운다면(이론상) 에너지도 무한대로 발산한다는 결론이 나오게 됩니다.

이는 우리의 직관과는 굉장히 떨어져 있는데, 결국 이 문제를 해결하려면 에너지가 보존되기 위하여는 트랜지스터의 증폭률이 클수록 트랜지스터에서 발생하는 전압 강하량은 도리어 감소해야 한다는 결론에 도달합니다. 이것은 또 다른 문제를 야기합니다; 회로의 전위차는 일정한데, 전압 강하량이 바뀌어 버린다면, 회로는 정상 동작할 수 없는데요?

바로 그렇기 때문에, 트랜지스터는 다른 저항기 없이는 동작할 수 없습니다. 물론 갓 회로이론을 수강하는 2학년생은 교재에 적힌 경고를 무시하고 저항기 없이 트랜지스터 회로를 만들어 버릴 수 있습니다만, 그럼에도 불구하고 작동할텐데, 이는 애초에 도선의 저항이 0이 아니기 때문입니다(이 상황에서는 도선이 모든 전압 부하를 감당하므로 당연히 화재 등 안전사고의 위험이 있습니다).

다시 돌아오자면, 결국 트랜지스터가 전류를 잘 증폭할수록 전압 강하는 도리어 낮아진다는, 얼핏 이상해 보이는 결론에 도달합니다. I는 커지는데, V의 감소량이 작아지니, 겉에서 본다면 에너지가 창조되는 상황으로 보이게 됩니다. 이 문제는 다른 저항기가 반드시 존재해야 한다는 전제가 해결해 주는데, 저항기의 저항값이 일정할 때 회로에 흐르는 전류가 커진다면(설령 V도 커지더라도), 트랜지스터에 의한 소비전력은 감소할지언정 이 저항기에 의한 소비전력은 더 증가하게 됩니다. 따라서 전체적인 소비전력은 증가하므로, 우리의 직관에 맞는 결과가 나옵니다.

이것을 문제에 적용한다면, 가변 저항값이 커진다면 트랜지스터에서 전류의 증폭이 더 크게 일어나므로, 전압 강하도 작아집니다. 어쨌든 에미터 단자에서의 전위는 반드시 0이므로, 콜렉터 단자에서의 전위값도 작아져야만 합니다.

사실 위의 서술에서는 베이스 단자의 전위도 감소한다고 적혀는 있습니다만, 일반적으로 V_BE는 일정하다고 봅니다. 이유는 위의 서술에서 잠깐 지나가듯 언급된 이유와 같은데, 애초에 I_B 자체가 작고, 따라서 I_B에서 매우 작은 변화가 일어나도 V_B의 변화는 굉장히 미미하기 때문입니다. 따라서 베이스 단자의 전위는 활성 상태(뭔지 모르셔도 됩니다, 증폭률 β가 일정하여 전류가 잘 증폭되고 있을 때를 말합니다)일 때 일정하다고 두고 문제를 풀게 됩니다. 갤러리 칼럼에 관련 내용이 자세히 적힌 것이 있으니 읽어 보시면 좋을 듯합니다.

어쨌든 위의 이유로 V_C는 감소하는데 V_B는 훨씬 적게 감소하므로, 전위차는 감소하게 됩니다.

물체의 초기속도벡터가 지면과 이루는 각을 θ라 하자. θ가 ±π/2일 때 R = 0임이 자명하고, θ가 π/2일 때부터 θ를 작게 할 때와 θ가 -π/2일 때부터 θ를 크게 할 때 모두 R이 증가한다. 따라서 θ에 따라 R이 최대가 되는 특정 순간이 존재하고, 이 순간은 유일하다(양극단값에서 θ가 증가할 때와 감소할 때 모두 R이 증가하므로). 이때, 유일하게 존재하는 R의 최댓값을 R_max라 하고 R = R_max일 때를 생각하자면 θ > 0 또는 θ < 0 두 경우 중 하나에 해당하여야 하는데, 수평으로 던졌을 때의 R을 R = R_0라 하면 R = R_max일 때 R_0 < R_max이므로 v_0t_0 < v_0t_max이고 즉 t_0 < t_max이다. 지면에 도달하기까지 걸리는 시간은 v_0sinθ가 클수록 커지므로 원하는 t_max일 때 sinθ > 0이어야 하므로 θ > 0이 된다. 즉 비스듬하게 위로 던져야 한다.

추가 분석: 당연히 직관적으로 위로 던져야 한다고 생각은 하셨겠지만 그걸 설명하는 것은 의외로 간단하지 않습니다(역으로, 간단하지 않은 것을 물리적 직관은 그저 '당연하다'는 이유만으로 굉장히 간단하게 만들어 줍니다). 그리고, 수평면으로부터 시점까지의 높이차 h와 초기속력 v_0를 생각하면 R이 최대가 될 때의 θ가 유일하고 그것을 수식으로 풀어낼 수 있을 것이라 보이지만, 그것은 더 복잡합니다.

위와 같이 수평면으로부터 높이차 h가 있을 때 수평도달거리 R을 초기속력 v_0, 수평면과 초기속도벡터가 이루는 각 θ에 대하여 구해보자면;

잘 아는 그 공식과

또 다른 공식을 생각합시다. 근의 공식을 이용하여 t에 대하여 풀면

입니다. 근호를 빼는 경우는 R이 최대일 때가 아닐 것이므로 제외하였습니다. 대입하면

입니다. 이때, 최대 R을 찾고 싶으므로, 즉 θ에 대한 R의 값이 극대일 때입니다. 이때 도함수가 0이어야 하므로, 미분하면

입니다. 이 식이 0이면 되는데, 제1항의 코사인을 사인으로 바꿀 수 없어(제2항의 경우 1 - sin^2θ로 쓰면 됩니다) 해를 대수적으로 찾을 수 없습니다. 사인과 코사인은 서로 도함수 관계에 있어, 위의 식은 미분방정식인데, 함수와 도함수가 직접 곱해져 있어 풀기가 상당히 까다롭기 때문입니다.

*추가: 혹시나 일반해가 궁금하신 분이 계실까봐 볼프람알파에 돌려봤습니다. k_0 = v_0이고 x = sinθ입니다.

시도하지 마세요.

[언으우주(moolihak2)]

님 ㄹㅇ 현정훈인가

[익명(w3v0cxm6j8lc)]