[❓️질문] 라그랑주 방정식 질문존요

[익명(223.39)]

이거 맞게 풀었는지 봐주실분 ...

v = x dot = 상수인 경우

x double dot =0 이라서 1식에 대입하면 x' double dot=0 이고 또 이걸 2식에 집어넣으면 모순나오는데 어디가 잘못됏으까요 ㅠㅠ

질량M인 경사면이 일정한 속도 v로 움직일때 그 위에 있는 구슬의 운동의 운동방정식을 구하는게 문제입니다. 좌표계를 저렇게 잡은 이유는 구슬의 진행방향에 맞게 잡은거같은데 잘은 모르겟어요

[익명(211.177)]

일단 문제 설명이 없어서 문제 상황이 이해가 안 되고, 축은 왜 세 개가 있는지 알 수가 없으며, 라그랑지안을 어떻게 잡은 건지도 모르겠는지라 뭐라 답변 드릴 수가 없습니다. - dc App

[익명(223.39)]

사진 추가햇습니다..

[익명(118.235)]

문제 조건이 다소 이상하군요, 마찰력은 무시하지만 미끄러짐 없이 굴러가는.. 왜 속력이 일정하다고 잡으신 건지는 잘 모르겠습니다만, 위 상황은 직관적으로 봤을 때, 물체가 빗면을 따라 내려오는 동시에 빗면이 왼쪽으로 가속됩니다. 빗면의 속도를 상수로 두고 싶다면 외력 항을 추가하셨어야지요. 역학적 에너지가 보존된다고 식을 썼는데 외력이 가해지는 산황이라 문제가 발생한 것입니다. 문제 의도는 말씀드린 바와 같이 외력이 없는 상황일 듯합니다. - dc App

[익명(223.39)]

네 저도 문제가 좀 이상하다고 생각했어요.. 저 식대로 따라가봤는데 답이 안나와서 어떻게 해야할지 모르겠어요.. 아마 외력=0이라고 놓고 풀으라는거같은데 이러면 식이 안풀리는 거 같아요. 교수님이 경사면이 일정한 속력으로 움직일때 그 위에 구슬을 놓으면 구슬이 어떻게 운동하는지 구하라고 하셧는데 어캐해야할까요..

[익명(118.235)]

그러면 관성계니까 빗면 속력 0으로 두고 운동방정식을 쓴 다음 x·를 더하기만 하면 풀리긴 할텐데요.. 의도를 모르겠군요. - dc App

[익명(223.39)]

근데 저 식만 본다면 제가 푼 라그랑주 방정식은 맞게 푼건가요?? 둘다 가속도가 0인 상황...

[익명(118.235)]

둘 다 가속도가 0이 아닌 상황으로 본다면 맞습니다. 다만, 미분방정식을 저렇게 푸는 습관은 좋지 않다고 생각합니다. - dc App

[익명(223.39)]

그럼 어떻게 풀어야 하나요?? 해결이 안되니 답답하네요ㅜㅜ

[익명(118.235)]

맞게 푸셨다니까요. 저기에서 식을 정리하여 두 물체의 가속도 사이 관계를 구할 수 있고, 특별히 두 물체가 서로 강하게 연결되어 즉 하나의 물체로 거동할 때에는 서로 가속도가 0이 되지요. - dc App

[익명(223.39)]

미방 푸는 습관이 잘못됐다고 하셔서... 죄송합니다..

[익명(118.235)]

그 부분은 별 건 아니고, 라그랑주 방정식의 기본 form은 라그랑지안의 일반화 속력 편미분의 시간미분에서 라그랑지안의 일반화 위치 편미분을 뺀 값이 0이라는 것인데, 흔히들 여기서 우변이 0임을 이용해 단순히 둘이 같다고 두지만, 원래 우변에는 외력이 들어가야 합니다. 그래서 가급적이면 원래의 식을 위치까지 그대로 적는 것이 좋습니다. 비단 라그랑주 방정식이나 편미분방정식 뿐 아니라, 물리학의 여러 공식은 텐서미분방정식의 특수해인 경우가 많기 때문에, 함부로 식의 순서를 바꿔 외운다거나 하면 곱하는 순서가 달라져서 결과가 이상하게 나올 수 있습니다. 그래서 가급적이면 원래의 식을 변형하지 않는 게 좋습니다. 그 얘기였을 뿐이지 풀이가 잘못됐다는 뜻은 아닙니다. - dc App

[익명(223.39)]

감사합니다 .. 마지막으로 하나만 더 질문해도 될까요 ㅠㅠ위의 (M+m)x double dot 들어있는 방정식 있잖아요?? 이거는 수레의 운동을 기술하는건데 x double dot=0이라 두면 x' double dot역시 0이 되어야 하는거 아닌가요? 그리고 여기서 구한 x double dot, x' double dot을 밑에 구슬의 방정식에 대입하면 해가 나오는 거 아니에요?? ㅠㅠ 근데 수레의 식에서 구한 걸 구슬의 식에 대입하면 답이 안나오고, 구슬의 식에 x double dot=0이라는 조건을 써야 답이 나와요 ㅠㅠ

[익명(118.235)]

가속도가 0이 아니라고 두면 해를 구할 수 있고, 가속도가 0이면 그대로 θ=0이라고 나오지 않나요? - dc App

[익명(223.39)]

θ는 0이 아닌 고정된 상태에요. 가속도가 0이 아니라면 해가 나올텐데 x double dot은 무조건 0인 조건을 써야 해요. 근데 이 조건을 쓸려면 애초에 수레가 등가속도 운동을 한다고 하고 수레의 라그랑주 방정식을 써서 M x double dot =0이라고 해야 맞나요? 이러면 1식이 잘못된건데 뭐가 뭔지를 모르겟네요 .. 머리 터지겟네요 아..

[익명(118.235)]

당연히 θ는 변수가 아니지요. 둘 중 어느 하나라도(사실 필연적으로 둘 모두) 가속도가 0이려면 θ=0 또는 물체와 수레가 연결되어 있어야 합니다. 이외의 경우(i.e., θ>0∧x·>0)에는 외력이 없다면 가속도가 반드시 0보다 커야만 하지요. 불가능한 상황이니까 해가 나올 수 없는 겁니다. - dc App

[익명(223.39)]

감사합니다 ㅠㅠㅠ