[📃해설] 질량중심 해설의 해설

위 링크에서 첨부한 질량중심 해설을 이해하기 위해서 다음 사실을 이해해야함

0) A+B의 질량중심은 (A위치xA질량 + B위치xB질량)을 전체질량으로 나눠서 구한 위치다

1) B의 수평 이동 거리는 충돌 직후 B의 속력에 비례한다

2) A+B의 질량중심은 충돌 전에도 등속도 운동, 충돌 후에도 등속도 운동을 하고, 충돌 전 후로 같다

3) 모든 관성계에서 탄성충돌은 운동량과 에너지가 보존된다

일단 질량중심의 운동에 대해서 알아보겠음

선택지가 모두 m>1이므로 m>1이라 일단 가정

그러면 편의상 A의 운동방향을 양(+)이라 해서 A의 속도가 1, B의 속도가 -1이라 하셈

그럼 A+B의 운동량은 m-1이고 이것을 전체질량 m+1로 나누면 질량중심의 속도 (m-1)/(m+1)이 나옴

이것을 vcm=(m-1)/(m+1)이라고 하겠음(cm은 center of mass를 의미)그리고 그 방향은 충돌전 A의 운동방향과 같을거임

이제 질량중심이 정지한 관성계(질량 중심과 같은 속도로 움직이는 관찰자의 관성계)에서 해석해보겠음

충돌 전에 A+B의 운동량은 0임. 왜냐하면 A+B의 운동량을 전체질량으로나눈 게 질량중심인데 정지해있으므로 A+B의 운동량이 0임.

그럼 충돌 후 A+B의 운동량도 0이므로 A, B의 충돌 후 운동방향은 서로 반대이고

운동에너지 합이 보존되는 탄성충돌임. 탄성충돌이므로 충돌전 상대속력이 2이고 충돌 후 상대속력이 2여야함

위 정보를 종합해서 어차피 충돌 후 A, B의 운동방향이 반대이므로

1차원으로 설명 가능하므로 충돌직후 A, B 의 속도를 a, b라고 하면

ma+b=0

b-a=2

a=-2/(m+1), b=2m/(m+1) 나올거임 대충 속력만 알면 되니까 충돌 후 B의 속력은 2m/(m+1)임 a-b=2라고 하면 b=-2m/(m+1)나오는데

속력은 크기가 중요하므로 속력에서 -는 없애

이 속력은 질량중심이 정지한 관성계에서의 B의 속력을 뜻함

즉 정지한 질량중심으로부터 멀어지는 속력이라고 할 수도 있음

이제 그림 그리셈

충돌하는 순간 질량중심과 B는 모두 충돌 지점에 있었음

거기서부터 출발해서

v1은 θ=90도일때 B의 충돌 후 속도를 의미하고,

v2는 θ=180도일 때 B의 충돌 후 속도를 의미함

vcm은 질량 중심의 속도를 의미하고 A의 충돌 전 운동방향과 같음

그리고 그림에서 각각 1초를 곱해서 변위벡터로 나타낸 거임

즉 v1의 종점은 θ=90도일 때 충돌 1초 뒤 B의 위치, vcm의 종점은 충돌 1초 후 질량중심의 위치, v2는 θ=180도일 때 충돌 1초 뒤 B의 위치

따라서 B와 질량중심 사이의 거리는 2m/(m+1)이 되어야 함

왜냐하면 아까 질량중심이 정지한 관성계에서 충돌 후 B의 속력이 2m/(m+1)이므로 이건 질량중심과 B가 서로 멀어지는 속력을 의미함

m<1은 선택지 없으니 제외

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