[일반] 님들 방정식은 미분하면 안됨??

[익명(concert2774)]

x^2=2x를 2x=2로 풀면 안되잖아

근데 x^2+xy+y^2=1 이런 음함수 표현도 방정식 아님? 근데 얘는 왜 미분해서 2x+xy'+y+2yy'=0으로 배움?

[Takina63(homework2553)]

두번째 식도 항등식이라는 가정하에서만 미분가능해요

[갱생실패리카(lillollool)]

후자는 방정식이 아니라 항등식을 미분하는거임. 후자를 만족하는 (x,y)의 집합은 음함수정리에의해 국소적으로 어떤 f에대해 y=f(x)의 그래프임이 알려져있음. 즉 a가 주어질때마다 x=a의 어떤 근방(a를포함하는 열린구간 I)에서 정의된 f(x)가 존재하여 x²+xf(x)+f(x)²=1이 x in I 에서 항상 성립함. 여기서 양변미분은 사실은 방정식이아니라 각 점마다 국소적으로 주어진 "항등식" x²+xf(x)+f(x)²=1 의 양변을 미분하는거

[갱생실패리카(lillollool)]

항등식이라는 가정하에서만 미분 된다기보단 저걸 작은 구간에서 항등적으로 만족하는 y=f(x)가 항상 존재하기때문에 그 항등식을 미분한다고 보는게 맞는거임. 가정이아니라 음함수정리의 결과야 항등식은

[윾붕(party9985)]

[갱생실패리카(lillollool)]

진짜러프하게말하면 변수 하나 방정식하나면 자유도가 없이 변수값이 거의 지정이 돼버리는거고 변수 두개 방정식하나면 자유도있는 변수가 하나 그거에 종속되는((약한)함수관계인) 변수가 하나 쌍으로 생기게됨. 처음 주어진 방정식은 이제 그 함수관계가 만족하는 항등식이 되는거고 이걸 미분하는거. 기하적 관점으로는 방정식을 만족하는 점의 집합이, 전자는 0차원 공간(안이어져있고 뚝 뚝 끊긴 이산적으로 존재하는 점들)을 만들고 여기서는 미분을 생각하기 힘들지. 변수의 아주작은 변화량을 생각해야하는데 해당 공간은 뚝뚝 끊겨있어서 그 공간 "내에서" 아주작은 변화 자체를 생각할수없음. 후자는 1차원 공간(연속적인 선)을 만들게되고 여기선 미분(그 공간 내에서 변수들의 미소 변화량의 비)을 생각하는게 유의미한거고.

[그만하자(87324sy)]

숫학과 멋지네

[갱생실패리카(lillollool)]

그리고 사실 singular한 경우를 내가 일부러 배제했는데, 수직으로 서는 접선을 갖는 x=a의 근방에선 당연히 y=f(x)꼴로 못 씀. 이경우엔 x=g(y)가 존재함. 둘다 존재하지않을수도있냐? 식이좃같으면 가능함.

[갱생실패리카(lillollool)]

음함수 정리의 풀 스테이트에는 그게 구체적으로 언제 되는지, 된다면 함수관계는 유일한지 등등이 포함되어있음. 기하적 관점은 미분다양체론이라는걸 보게된다면 좀더 구체화하여배울수잇음.