[📃칼럼] 2. 포물선 운동

[acceler..(laborer1973)]

1편의 글을 보고 와주세요

2편은 포물선 운동에 대한 내용입니다.

1편과 마찬가지로, 기존의 칼럼 내용과 겹치는 내용이 많습니다. 최대한 이해에 초점을 맞춘 글이라고 생각해주세요.

1편에 비하여 분량이 많으니 그 점 유의해주시면 좋을 것 같습니다.

1편의 글의 형식과 비슷하게 필기를 포함한 개념 설명 이후 문제 해설을 하는 방식으로 진행합니다.

쓴다고 노력했는데, 개추부터 박고 봐줘잉

속도의 직교분해

1. 물리학 1에서의 등가속도 운동과 변수 단순화

물리학 1에서의 등가속도 운동에 관한 내용을 배울 때 처음으로 배우는 공식들입니다.

기존의 세 가지 공식과 평균 속도, 처음(나중)속도가 0인 경우에 대한 식을 작성하면 위의 그림과 같습니다.

아래의 다양한 풀이법의 제대로 된 적용을 위해서 반드시 선행되어야 할 것이 바로 저 공식들에 대한 제대로 된 이해라고 생각합니다.

여러분이 벡터 풀이를 사용하든, 단순한 직교 분해를 통해 풀든 결국 선택한 그 풀이를 사용할 이유에 대한 대답은 저 식들로 귀결되어야 합니다.

또한 식의 구조를 보면

속도 v, 변위 s, 시간 t, 가속도 a는 모두 두 변수를 구하게 되면 그 변수로 표현할 수 있게 됩니다. 이를 잘 생각해본다면,

변수 두개를 단순히 '1'로 잡고 풀게 되면 모든 변수를 숫자로 표현할 수 있게 될 겁니다. 이를 변수 단순화라고 합시다.

(물론, 3개 이상을 숫자 1로 잡게 되면 식에서 모순이 발생할 수 있으니 대부분의 경우에는 두 변수를 숫자 1로 잡습니다.)

예시)

문제 선지에서 물리량의 값이 문자가 포함된 식으로 표현되어 있더라도, 그 식에 포함된 변수가 가지는 값을 대입하여 동일한 값을 갖는지만 확인하는 방식으로 변수를 작성하는 과정을 생략할 수도 있을 겁니다. 이건 스스로들 해보시고, 저는 개념 설명과 문제 풀이의 이해를 돕기 위하여 최대한 변수 단순화를 사용한 풀이는 지양하도록 하겠습니다.

2. 각 축에 대한 등가속도 공식 적용

(수능특강 2점 7번)

문제를 보면, p와 q의 y축 방향의 속도의 크기가 2 : 3이니 최고점을 기준으로 p,q 높이까지 자유낙하하는 상황을 생각해본다면

각각의 변위 비는 4 : 9를 만족합니다. 즉 H를 9라고 생각했을 때 L이 9-4로 표현되니, H를 9/5L로 나타낼 수 있습니다.

또한, p에서 q까지 이동하는 동안의 각 축에 대한 평균 속도의 비(속도의 합의 비)는 2 : 1로 표현할 수 있겠네요.

고로, R은 2L로 나타낼 수 있습니다.

풀이

풀이를 정리해보면,

최고점을 기준으로 속도의 변화량을 통해 시간비를 구하고, 그의 제곱비가 변위에 비례함을 이용한 후에

평균 속도의 구체적 값이 아닌, 비만으로 각 축의 변위비를 구할 수 있음을 이용했습니다.

(수능특강 2점 6번)

 

x축 방향의 속도를 고정하고 y축 속도를 각각 나타내면, y축의 속도비를 통해 최고점을 기준으로 걸린 시간의 비가 3 : 1임을 구할 수 있습니다.

마찬가지로 시간비의 제곱 비를 통해 최고점에서 q까지의 변위가 높이의 1/9임을 이용할 수 있겠고 p에서 q까지 이동하는 동안의 y축 방향의 변위를 구했으니

각 축의 평균 속도의 비를 활용한다면 p에서 q까지 이동할 때의 x방향 변위를 구할 수 있겠네요 

풀이

7번 문제와 비슷한 느낌이 들 겁니다. 이처럼 각 상황에 가장 어울리는 상황을 설명할 수 있는 식을 빠르게 떠올려 풀이를 생각하는 것이 중요합니다

(수능특강 2점 8번)

최고점을 기준으로 q,r까지의 변위 비가 4 : 9이니, 앞에서 했던 것처럼 걸린 시간의 비가 2 : 3임을 구해낼 수 있습니다.

p에서 r까지의 이동에서 수평 변위를 구하라고 하니, 앞에서 했던 과정을 반복하여 각 축에 대한 평균 속도의 비를 통해 변위 비를 구해주면 되겠네요.

ㄴ 선지는 물론 시간 비가 2 : 3임을 이용하여 y 방향의 속도를 구할 수 있습니다만, 조금 다르게도 풀어볼 수 있습니다.

한 물체의 운동을 다루거나, 가속도가 동일한 두 물체의 운동을 다루는 경우에 대해서는 가속도도 결국 상수로 취급할 수 있습니다.

그렇게 되면 등가속도 세 번째 공식에서 2, a가 모두 상수 취급될 때 변위가 속도 제곱차에 비례함을 알 수 있습니다.

r까지 y변위가 9L 변할 동안 속도 제곱차는 3v^2이니, 결국 L변할 때 속도 제곱은 1/3v^2 만큼 변한다는 사실을 그 문제 내에서 반복적으로 사용할 수 있을 겁니다.

풀이

2as 공식에 대한 L과 v^2의 비율을 나타내는 표현을 위의 그림 내의 기호로 나타내려 합니다.

(수능특강 2점 12번)

q라는 지점이 최고점이라는 성질을 이용하기 위하여

빗면에 나란한 방향과 빗면에 수직인 방향으로 축을 새로 설정해봅시다.

그럼 가속도도 새로 정의한 축들로 분해해서 생각할 수 있겠고, 빗면 방향으로는 1/2g / 빗면에 수직인 방향으로는 루트3/2g의 가속도를 가지는 운동으로 해석할 수 있겠네요.

이 상황에선 H가 최고점에서 p까지의 변위로 해석할 수 있으니, ㄱ에서 구한 시간동안 루트3/2g의 가속도를 받는 자유낙하하는 물체의 변위로 해석할 수 있습니다.

ㄷ선지는 위에서 풀었던 방식과 동일하게 평균속도의 비를 사용할 수 있는데, H가 루트3을 포함한 식으로 표현되고 평균속도의 비가 루트3을 포함한 식으로 표현되니

ㄷ선지처럼 빗면에 나란한 방향의 변위가 루트3을 포함할 수가 없습니다. 그래서 그냥 틀렸다고 말할 수 있겠네요(직접 구해보셔요) 

풀이

H처럼 빗면을 기준으로 나타낸 길이가 주어진 경우, 축돌리기를 사용한 풀이가 유용한 경우가 많습니다.

포물선에서의 벡터 활용

1. 속도벡터

나중속도 v는 처음속도 v_0와 at의 합으로 표현됨을 위에서 확인했습니다.

그런데, 물리학1에서는 모든 운동이 한 직선 위에서 일어나지만 물리학2에서 다루는 운동은 단순히 한 직선 위에서 운동하지 않고, 2차원 상에서의 운동을 다룹니다.

그렇기에, 우리는 저 v = v_0+at라는 식을 벡터를 활용하여 2차원 상에서 기하적으로 나타내 볼 수 있습니다.

그림으로 나타내면 아래의 그림과 같겠네요.

검은색의 처음 속도벡터 v_0에 가속도에 의한 속도 벡터 at를 벡터 합의 성질을 고려하여 그림으로 나타낸다면, 파란색의 나중 속도 벡터로 표현될 수 있습니다. 마찬가지로 보라색의 평균 속도도 그림으로 나타낼 수 있고요.

결국 그림을 보면, 초속에 의한 속도 벡터를 나타내고 가속도 방향으로 특정 길이의 벡터를 그렸을 때 속도 벡터의 합을 평균 속도라고 둘 수 있다면, 그 방향으로 같은 길이, 같은 방향으로 벡터를 이어주면 그 합은 나중 속도 벡터로 읽을 수 있습니다.

물체의 운동에서의 속도의 정보(각도, 속도 크기의 비율)를 기하학적으로 바로 알 수 있으니, 이를 잘 활용하면 유용한 경우가 많습니다.

1-1. 상대속도

여러 물체가 동일한 시간 동안 운동하는 과정에서, 물체에 작용하는 각각의 가속도가 동일하다면(방향, 크기 동일)

물체 사이의 거리의 변화는 초기 속도의 벡터만을 고려한 상대속도에 걸린 시간의 곱으로 표현할 수 있습니다.(차피 두 물체의 가속도에 의한 변위는 계산 시에 소거됩니다.)

고로, 특히 동일한 가속도를 받는 두 물체가 동일한 시간 동안 이동하는 경우에서 두 물체의 거리를 묻거나, 두 물체가 만나는 등의

물체 사이의 거리 정보를 주는 경우에 이를 유용하게 사용할 수 있겠네요.

속도 벡터와 함께 생각해본다면, 두 물체의 거리를 생각해본다면 가속도는 두 물체 사이의 거리를 바꿀 수 있는 요소가 될 수 없습니다.

그렇기에, 특히 동일한 시간 동안 운동하는 두 물체가 만나는 경우엔 두 물체의 초기속도 벡터가 동일한 지점을 가리켜야 한다는 것을 사용할 수 있습니다.

세부적인 것들은 문제를 통해 확인해봅시다.

(240618)

문제를 보면, A의 운동을 기준으로 생각했을 때

p에서 속도의 연직 성분이 0라고 했으니, 나중 속도의 방향은 x축과 나란한 방향이어야 하고 변위는 평균 속도와 나란한 방향이니 나중 속도와 평균 속도를 나타낼 수 있습니다.

위에서 언급했듯, 평균속도와 나중속도는 1/2at벡터 만큼의 차이가 나며

이 길이가 y축 방향으로 d의 크기를 가지니, 처음 속도 벡터를 생각해보면 평균 속도 벡터에서 d만큼 올라간 위치를 가리켰다는 것을 알 수 있습니다.

또한 동일한 시간동안 동일한 중력가속도 g를 받는 포물선 운동을 하니, 상대속도를 떠올려 두 물체 사이의 거리를 생각하면

두 초기속도 백터가 동일한 지점을 가리켜야 합니다.(결국 가속도에 의한 속도는 고려하지 않아도 되니, 처음 속도벡터가 만난다면 두 물체는 같은 지점에 도달함)

고로, A와 B의 처음 속도 벡터를 나타내면 아래 그림과 같습니다.

(220906)

처음 속도의 각도와 변위의 각도가 주어져 있으니, 처음/나중/평균속도를 표현한 속도벡터를 그릴 수 있습니다.

그렇게 되면, 나중 속도의 벡터와 처음 속도 벡터의 크기 비를 구해낼 수 있으니 나중속도를 v를 통해 나타낼 수 있습니다.

이후 변위가 1/3h임을 알고 있으니, 2as 공식을 사용할 수 있습니다.

이처럼 벡터 풀이를 진행하는 과정에서 '나중 속도를 처음 속도 비로 구해낼 수 있다면 2as 공식을 통해 v를 g,h로 나타낼 수 있다'는 것을 미리 인지한 후에,

벡터를 그리는 연습을 하시면 무지성으로 벡터만 찍찍 긋다가 오히려 문제를 풀지 못하는 참사를 줄이실 수 있을 겁니다.

(위에서 언급했듯, 모든 문제 풀이의 논리는 등가속도 공식으로 귀결되어야 합니다.)

(220619)

A의 운동을 봤을 때, 처음속도 벡터(기울기 3/4), 평균속도 벡터(5/8d까지, x축에 나란한 방향), 나중 속도 벡터(y축에 나란한, 아래 방향)의 정보를 알고 있으니

속도 벡터를 통해 물체의 속도 정보를 나타낼 수 있습니다.

가속도에 의한 속도 벡터를 생각했을 때 초기속도-평균속도와 평균속도-나중속도는 동일해야 하니,

역으로 초기 속도의 크기를 구해본다면 초기속도의 x축 방향의 크기는 16/5d만큼의 크기를 지녀야 합니다.

상대속도를 생각했을 때, B의 초기 속도 V의 벡터도 동일하게 16/5d를 가리켜야 할테니 V의 x축 방향의 크기는 4/5d일겁니다.

결국 v : V는 각 속도의 x축 방향의 크기비와 동일할테니, 비는 4:1이겠네요

2. 변위벡터

  

앞에서 봤던 속도벡터에서, 처음속도, 가속도에 의한 속도의 절반, 평균 속도 벡터를 걸린 시간t에 대한 실수 배를 해주면,

아래의 그림을 띄게 됩니다.

그럼 이러한 변위 벡터는 어떤 상황에서 사용할 수 있는지 확인해봅시다.

2-1. 바닥에서 바닥으로의 포물선에서의 거리 비

아래 그림은 물체가 지표면을 기준으로 최고점까지 도달하는 상황에서의

속도(변위)벡터의 일부를 표기한 그림입니다.

이제, 저 그림 위에 지표면에 다시 도달하는 운동을 표현한 변위벡터를 표현해 봅시다.

최고점까지 도달하는 시간과, 다시 지표면에 도달하는 시간비는 1:2이니

가속도에 의한 낙하 변위가 시간^2에 비례함을 이용하면 저렇게 표현할 수 있겠네요. 고로 전체 x축 방향의 변위와 최고점 높이 사이의 비를 구할 수 있습니다.

tan를 통한 표현으로 나타냈지만, 30,45,60도에 대한 상황만 알고 있어도 충분할 것 같네요.

이를 활용한 문제입니다.(수능특강 2점 9번)

위에서의 내용을 활용하면, A가 이동한 x축 방향의 변위는 4L임을 구할 수 있고

A와 B가 동일한 시간동안, 중력가속도를 받아 운동하여 동일한 지점 r에서 만나는 것을 이용하면 A의 초속에 의한 변위벡터가 가리키는 지점을 B의 초속에 의한 변위벡터가 가리켜야 하니, 저렇게 나타낼 수 있습니다.

2-2. 구체적인 시간을 구하거나 두 물체의 시간 비를 구하는 문항(g,h)

문제(190409)

각 물체가 운동하는 시간의 차가 t고, A,B의 속도의 비가 2:3임을 이용하면 초속에 의한 변위벡터가 동일한 x축에 위치하기 위해서는 시간의 비가 3:2여야 하니

각 물체가 이동하는 시간은 3t, 2t로 나타낼 수 있습니다.

그 시간동안 가속도에 의하여 자유낙하하는 변위는 각각 g의 가속도로 3t, 2t의 시간동안 자유 낙하 운동한 변위가 되니, 그걸 바탕으로 t와 g를 통해 25m를 표현할 수 있습니다.

풀이

(211020)

변위벡터를 그려 g에 의한 자유낙하한 부분의 길이 비만을 구하고, 그것이 각각의 시간비의 제곱에 비례함을 이용하면 시간 비를 쉽게 구할 수 있습니다.

3. 빗면 위에서만 운동하는 물체의 벡터 해석

포물선 운동하는 물체의 가속도는 g로 일정하지만, 

@의 각을 지닌 빗면 위에서 움직이는 물체는 gsin@의 가속도를 가지므로

서로 다른 가속도에 의한 속도벡터를 가집니다만, 

두 가속도에 의한 속도벡터는 아래의 그림처럼 한 삼각형에서의 변의 길이로 표현할 수 있습니다.

고로, 빗면에서만 이동하는 물체와 포물선하는 물체의 운동을 동시에 표현하는 것이 가능합니다.

문제로 자세히 확인해봅시다.

문제(수특 3점 7번)

풀이

길이를 적당히 숫자를 잡아서 표현하면 저런 방식으로 나타낼 수 있습니다.

B가 받는 가속도에 의한 속도벡터의 크기가 2이니, A는 저 아래 파란색의 1만큼의 크기의 가속도에 의한 속도벡터를 지닌다고 표현할 수 있습니다.

A와 B의 속도비를 알고 있으니, 초기 속도 벡터 크기의 비율과 속도비가 동일함을 이용해 L을 3으로 표현할 수 있으니, 2로 나타내지는 q와 r 사이의 거리는 2/3L로 나타낼 수 있습니다.

(251114)

풀이

동일한 방식으로 풀면 될 것 같습니다.

(220611)

풀이

빗면 위에 가만히 놓인 물체의 변위벡터적 해석

각이 @인 빗면 위에 놓인 물체가 L만큼 이동한다고 생각해봅시다.

가속도를 고려하여 걸린 시간을 계산한 후에 1/2gt^2자리에 그 t를 대입해보면

그 물체가 L까지 이동하는 시간은 L/sin@의 높이에서 자유낙하하는 시간과 동일함을 알 수 있습니다.

위에서 했던 빗면에서의 벡터 해석 방식과 마찬가지로, 두 물체의 운동을 한번에 표현할 수 있고 가만히 냅둔 물체로부터 시간비를 구한 후, 이를 활용하여 다른 물체의 운동에서의 조건으로 활용할 수 있습니다.

(당연히, 저걸 이용하여 속도벡터를 그리고 속도가 아래로 쳐박는다는 식의 해석은 하면 안됩니다.

단순히, 빗면 위의 물체가 운동하는 데에 얼마나 시간이 걸리는 지를 벡터적으로 확인할 수 있다는 것에 의의를 둡시다.)

문제(수능특강 3점 9번)

풀이

B가 운동하는 데에 걸린 시간은 핑크색의 길이만큼을 자유낙하하는 시간과 동일합니다. A도 동일한 시간동안 운동하니, 저 부분에서의 가속도에 의한 변위 벡터 부분을 그대로 사용할 수 있습니다.

도형 해석을 통해 x가 1/2L임을 구하고 A의 속도벡터를 생각하면 A의 나중속도와 초기속도의 비를 알 수 있으니 나중 속도를 초기속도의 크기인 v_0로 표현할 수 있습니다.

이후 앞 문제에서 했던 것처럼 2as 공식을 사용하면 v_0를 g,L로 나타낼 수 있겠네요.

4. 임의의 한 점에서의 역투사

두 점 p,q을 상상하고 p에서 q까지 이동하는 상황을 생각해봅시다.

그리고, q에서의 속도를 같은 크기, 반대 방향으로 설정하여 다시 p까지 이동하는 상황을 생각해본다면 걸린시간, 변위의 크기, p에서의 속도 크기와 각도, 변위는 달라지지 않을 겁니다.

이처럼, p에서 q로 이동하는 상황과 q에서 p까지 이동하는 상황은 대칭적이며 p에서 q까지 이동하는 과정을 생각하는 것이 어렵다면, q에서 p까지 운동하는 것으로 간주해도 대칭성에 의하여 거의 동일한 상황으로 해석할 수 있음을 알 수 있습니다.

문제(25수능완성 실전모의5회 3번)

풀이

p에서 최고점까지의 운동을 생각하기보단, 최고점에서 p까지의 운동을 생각하는 것이 훨씬 편할 듯하여 최고점에서의 벡터 해석을 사용하려 합니다.

우선, 최고점에서 r까지의 운동에서의 속도벡터를 해석하면, 나중속도의 각도가 60임을 이용하면 1/2gt의 크기가 3루트3/2L임을 알 수 있습니다.

또한, 최고점에서 p까지의 운동은 최고점에서 r까지의 운동 시간의 2/3배이니, 자유낙하한 핑크색 변위벡터의 길이는 4/9배임을 알 수 있습니다.

고로 q,r사이의 높이차는 최고점에서 r까지의 높이차의 5/9배가 됨을 알 수 있습니다.

쓰다보니, 많이 길어졌네요..

최대한 뉴비 기준으로 자세히 쓰려고 노력했습니다. 도움이 될 수 있으면 좋겠네요

급하게 쓴다고 풀이에서 오류나 오타가 있을 수 있습니다.

[원문(conquer3789)]

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16번 변위가 왜 h/3인가요?

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무슨 문제질 모르겠어요.. - dc App

[공간(49.163)]

@acceleration 아아 14, 15번입니다!제가 변위라는 개념을 이해를 못해서 질문했어요. 저는 변위를 시작점부터 끝점까지 수평과 수직거리를 포함한 대각선으로 생각했는데 밑에 글을 읽어보니까 가속도에 의한 변위라는 말이 있어서 어떤 뜻인지에 대해 알고 싶어 질문드렸습니다! - dc App

[공간(49.163)]

@공간(49.163) Pc랑 모바일이랑 번호가 다르네요 - dc App

[acceleration(laborer1973)]

가속도에 의한 변위는 그냥 1/2gt^2 길이를 활용하기 위해서 쓴 말이고 2as 공식 사용시에 y축변위 s에 대한 2as를 사용할 때 (v_y)^2을 사용해야 하지만, 그냥 속력을 사용해도 x방향 속도 제곱이 소거되는걸 알고 있으니 저렇게 식을 작성한겁니다 - dc App

[공간(49.163)]

26번에 5/루트3 구하는 과정을 모르겠어요 - dc App

[acceleration(laborer1973)]

아 오른쪽 루트3에 밑변2L을 가지는 직각삼각형의 다른 변 2/루트3의 합으로 보시면 됩니다 - dc App

[공간(49.163)]

@acceleration 감사합니당! - dc App

[익명(59.7)]

27번에 저도 5/루트3을 못구하겠어서 위의 질문을 읽어보았는데 위에 설명해주신 것처럼 오른쪽의 루트3은 구했는데 밑변이 2L인 직각삼각형이 뭔지 모르겠습니다.

[Acc(laborer1973)]

그냥 높이 sqrt3L기준으로 x축방향으로 보조선 쫙 그리면 한각이 30도, 밑변이 2L인 직각삼각형이 작도되지 않나 이해 안되면 그림 추가할게 - dc App

[익명(221.164)]

글 가장 첫번째 문제(수특 7번)에서 p에서 q까지 이동하는 동안의 각 축에 대한 평균 속도의 비(속도의 합의 비)는 2:1로 표현할 수 있겠네요 이 부분이 이해가 잘 안되는데 왜 그렇게 되는건가요? 어떻게 R = 2L이 나오는지 잘 모르겠습니다.

[Acc(laborer1973)]

각 운동을 쪼개서 보면 됩니다 x축운동 y축운동은 동일한 시간동안 운동합니다 고로 s = v_bar*t식에 의하여 평균속도 v_bar가 각각 1:k의 비를 만족한다면 변위또한 1:k를 만족해야 합니다 여기서 2로 나누든 말든 (평속이나 속도의합이나) 비는 유지되니 2:1이라고 구한겁니다 의도적으로 등속운동을 등가속도 운동처럼 해석했다고 생각하면 될 것 같습니다 - dc App - dc App

[Acc(laborer1973)]

@Acc 굳이 2로 나눠 분수 만들기 싫어서요 - dc App

[익명(112.187)]

220906에서 그럼 평균속도의 벡터는 vectorPQ인거 맞죠?

[Acc(laborer1973)]

네 맞아요 - dc App