1. 연속식 : ag(a-) = (a-1)g(a+)

2. 좌미 = 우미식 : g(a-) + ag'(a-) = g(a+) + (a-1)g'(a+)



g(x)가 x=a에서 연속이라면 1번 식에서 g(a) = 0


g(x)가 x=a에서 연속이라는 건 거기서 미분가능한 매끄러운 모양이기도 하다는 것 ( 근거 == f의 개형을 생각해보면 f의 극댓값 외에는 g가 불연속이 될 수 있는 곳이 없고, g가 불연속이 되는 곳 외의 모든 곳에서는 미분가능한 f의 역함수 꼴이므로 g도 마찬가지로 미분가능)


g(x)가 x=a에서 미분가능하다는 건 2번 식에서 g'(a-) = g'(a+) 라는 것이고, 따라서 a = a-1 이 될 수 없으므로 g'(a) = 0


하지만 g(x)는 f(x)의 역함수꼴을 따라가는 개형이므로 g'(x) = 0 인 점은 아예 존재하지 않음. (삼차함수 f(x)는 미분계수가 최소인 변곡점에서조차도 미분계수값이 발산하지 않고 어떤 상수니까)   



따라서 g'(a) = 0 이 될 수 없기에 g(x)는 x=a에서 불연속.


---> 그리고 위에 4번째 줄 괄호 안에서 말했듯이 f의 극댓값 외에는 g가 불연속이 될 수 있는 곳이 없으므로 a는 f(x)의 극대의 y좌표가 될 수밖에 없음.



g(x)는 x=a에서 불연속이라는 건 1번 식에서 g(a-) =/= g(a+) 라는 것이므로 a=0 또는 a=1 이어야함.


if) a=1  ---> 1번 식에서 g(a-) = 0  ---> 2번 식에서 g'(a-) = g(a+) 인데 좌변은 무한대이므로 모순.


따라서 a=0.



그럼 f(x)의 그림을 그려보면 


y=0 에서 극대로 접하고 하나는 뚫고 지나가는 그림이 그려짐.


(1) 오른쪽의 뚫고 지나가는 점의 x좌표를 구할 수 있는 것이 1번 식.(a=0을 구했으니까 1번 식에서 g(a+) = 0 이 나오고 g(a+) = 0 이라는 것은 f의 극대에서 살짝 위에 y=t를 그었을 때의 f(x)와의 교점이라는 의미이므로 거기가 (0,0)이 됨.)


(2) 왼쪽의 접하는 점의 x좌표가 곧 g(a-) 이므로 g(a-) = k 라고 두면,  2번 식에서 k + 0 = 0 - g'(a+) 가 나오므로 k = - g'(a+)  ----->  g'(a+)는 f의 그림 위에서 직관적으로 생각해보면 f의 x=0에서의 접선을 역함수 취한 직선의 기울기이므로 f'(0)의 역수.


따라서, f(x) = x(x-k)^2 에서 f'(0) = k^2  이므로  k = - 1/k^2 이라는 방정식이 나옴.

따라서, k = -1


f(2) = 18





길어서 죄송합니다 ㅠㅠ

한줄한줄 넘어갈 때 논리적으로 오류 있는 부분 지적해주시면 감사하겠습니다..