[📃칼럼] 아래 렌즈 문제에 대하여 미출제 요소 정리

[물2칼럼쓰기(crisp0016)]

문제에선 '물체와 상 사이의 거리가 d로 일정한'상황을 묻고 있습니다. 지금까지의 문제는 물체와 렌즈 사이의 거리, 물체와 상 사이의 거리만을 주로 다뤘기에 생소한 소재입니다. 그러나 다음과 같은 상황이 성립합니다.

(물체와 상 사이의 거리)×(렌즈의 초점거리)

=(물체와 렌즈 사이의 거리)×(상과 렌즈 사이의 거리)

간단하게 렌즈 방정식을 정리하면 유도 가능합니다.

실상: 1/a+1/b=1/f, ab/(a+b)=f, (a+b)f=ab

허상: 1/a-1/b=1/f, ab/(a-b)=f, (a-b)f=ab

이때 실상의 상황에 대해 ab가 서로 교환되는 상황에서 같은 결과를 만들므로 a와 b가 서로 반대, 즉 배율이 서로 역수인 관계가 존재함을 알 수 있습니다.

즉 문제 상황을 이 시야로 읽어보면 허상 1개, 실상 2개를 만들어냄과 실상의 배율은 반드시 역수 관계입니다.

축소된 상은 실상에서만 만들어지니, h가 축소된 실상임을 알 수 있습니다.

또한, 실상과 허상을 비교할 때, 상과 물체 사이의 거리가 같다면 반드시 허상이 더 큽니다. 

증명을 해보면 허상과 실상의 물체와 렌즈 사이의 거리를 각각 a, p라 하면 배율은 각각 (a+d)/a=1+d/a, (d-p)/p=d/p-1인데 a<f<p이므로 허상 배율이 큼을 알 수 있습니다.

따라서 h, H가 실상, 4H가 허상임을 알 수 있습니다.

H, 4H인 상황을 비교해봅시다.

둘의 렌즈로 부터 물체, 상 까지의 거리의 곱이 같아야하므로 4H일 때를 a, b라 하면 H일 때는 ka,b/k라고 할 수 있습니다. 배율을 고려하면 k=2, 따라서 1/a-1/b=1/2a+2/b, b=6a입니다. 즉 a=d/5, b=6d/5, f=6d/25이며 h=4a/bh_0=2/3h_0임을 알 수 있습니다.

[유급생(solve3842)]

사설 씹스러운 물체-상 거리 파훼법 드디어 찾았다