[📃칼럼] 돌림힘 - 연립방정식

[Lagrang..(tony0485)]

0. 칼럼을 쓰게 된 이유

물리학 II에서 다루는 대부분의 문제들은 풀이 과정 중 여러개의 미지수가 포함된 연립방정식이 튀어나옵니다.

예를 들어 돌림힘 문제의 경우 거리 r과 힘 F로 구성된 방정식이고,

포물선의 경우는 속력 v, 시간 t 등으로 구성된 방정식입니다.

역학이 아닌 전기장과 자기장조차도 그저 연립방정식의 포장지에 불과합니다.

이러한 방정식을 세우고, 푸는 것 자체는 충분히 많은 시간을 준다면 크게 난도가 높지 않으나,

물리학 II의 경우 30분이라는 제한된 시간 안에 많은 계산을 해내야합니다.

달리 말하면 난도가 높아질수록 방정식을 실수 없이 명확하게 세우고 풀어낼 줄 알아야 모든 문제를 해결할 수 있습니다.

풀어내는 시간 단축은 사실 개개인의 역량 문제고... 기탄 수학부터 풀 것이 아닌 이상에야 얘를 손볼 순 없으니...

결국엔 문제에서 제시된 조건을 실수 없이, 명확하게 세우는 시간을 줄이는 것이 공부의 목적이 되어야 합니다.

이러한 이유로 여러가지 풀이법들이 공유되고 있으나..

물리학 2를 처음 입문했을 시에는 풀이법 각각의 의의와 한계가 명확하게 잡히지 않고,

그저 떠올리기 힘든 발상으로만 치부하게 되며,

심하면 이 풀이가 우월하네 저 풀이가 우월하네 싸우기까지 합니다.

이러한 이유로 물리학 II를 깊게 공부하기 전에 문제에서 주어진 조건과 그에 대한 동치 조건, 그리고 연립방정식에 대한 이해가 필요합니다.

물리학 II 문제를 빠르게 풀지 못하는 이유는 대단한 스킬을 몰라서가 아닙니다.

기출 분석과 동치 조건에 대한 이해가 부족해서입니다.

기교는 기반이 다져진 이후에서야 쓸모가 있고, 그러한 발상도 기초에 근거해야만 실용성이 있습니다.

따라서 본 칼럼에서는 그동안 슥슥 사용하던, 혹은 새로이 익힐 풀이법들이 어떤 것과 동치인지,

그 풀이가 왜 빠른 것인지에 대한 내용을 정리할 것이고,

나아가 혼자 기출을 공부할 때, 혹은 처음보는 문제를 마주했을 때, 먼저 눈으로 문제를 훑으며 풀이에 대한 길이 바로 보이게끔 만들어지는 것을 목표로 합니다.

이 내용을 바탕으로 공부할 때는 잠시 펜을 내려놓고, 눈으로 견적을 짜맞춘뒤 풀이를 시작하는 습관을 들였으면 좋겠습니다.

수능에 도움이 되지 않는 자세한 증명은 부록으로 뺄 것입니다.

1. 연립방정식의 성질

1.1. 해의 결정 조건

2개의 미지수 x, y가 결정되기 위해서는 x, y로 구성된 서로 다른 두 식, 가령 x + y = 5, x - y = 3이 필요하다.

n개의 미지수가 존재하는 경우, n개의 서로 다른 식이 주어져야만 모든 미지수가 결정된다.

1.2. 연립방정식의 동치 조건

두 연립방정식

x + y = 5 ... (1)

x - y = 3 ... (2)

을 생각하자.

이 방정식을 풀 때, 두 식을 더하거나((1)+(2)), 뺄 수 있다((1)-(2)).

2x = 8 ... (3)

2y = 2 ... (4)

(3)은 (1), (2)와 동치인가?

아니다. y에 대한 정보가 사라졌다.

그렇다면 (4)는 (1), (2)와 동치인가?

역시 아니다. x에 대한 정보가 사라졌다.

즉, 어떤 연립방정식을 더하고 뺄 때,

기존 조건과 동치가 되기 위해서는 제시된 식 중 하나를 다시 적어주어야 한다.

(1), (2)는 (1), (3) 혹은 (2), (3)과 동치이다.

이를 종종 빼먹기 때문에 "식은 다 쓴 것 같은데 왜 안풀리지??" 같은 사고가 발생한다.

만약 문제에서 x만을 물어보았다면, 동치 조건을 생각할 필요 없이 (3)만을 작성해주면 쉽게 풀린다.

반대로 y만을 물어보았다면, (4)를 작성해주면 쉽게 풀린다.

앞서 나가자면 돌림힘에서 (3)은 '하나의 계로 본다.'에 해당하고, (4)는 '변화량 풀이'에 해당한다.

2. 1차원 정역학 평형 상태에서의 연립 방정식

어떤 물체의 알짜힘과 알짜 돌림힘이 모두 0일 때 그 물체는 정역학 평형 상태에 있다고 말한다.

물리학 II에서 다루는 돌림힘 문제들은 여기에 속한다.

2.1. 정역학 평형 상태에서의 결정 조건

(그림 1)

편의상 막대의 질량은 무시하자.

그림과 같은 흔히 제시되는 상황(즉, 2차원 돌림힘이 아닌 겅우)에서 어떤 물체가 평형을 이룰 조건은 단 두 개의 연립방정식과 같다.

I. 알짜힘은 0이다.

F_A + F_B - W = 0

II. 임의의 어떤 한 점을 축을 잡았을 때, 알짜 돌림힘은 0이다.

(사람을 축으로 잡았을 경우, F_A × a  - F_B × b = 0)

즉, 단 2개의 연립방정식이 나온다.

그러므로 이 문제가 풀리기 위해서는, F_A, F_B, W, a, b 중 세 개의 조건이 제시되어야 한다.

그러나 이런 질문이 나올 수 있다.

a, b, W가 제시되었다고 생각해보자.

A를 축으로 돌림힘의 평형식 (5)를 세우고, B를 축으로 다시 돌림힘의 평형식 (6)을 세우면

aW - (a+b)F_B = 0 ... (5)

-bW + (a+b)F_A = 0... (6)

얼핏 보기엔 힘의 평형식을 사용하지 않고 돌림힘의 평형식만으로 모든 미지수를 구한 것처럼 보인다.

그러나 두 식을 빼보자.

(5) - (6) ... (a+b)(W - F_A - F_B) = 0

즉, 축을 새로이 잡는 풀이는 기존 축에서 세운 돌림힘의 평형식 (5)에 (힘의 평형)×(두 축 사이의 거리)를 더한 것과 같다. (이에 대한 자세한 증명은 부록에서 다루겠다.)

여러개의 축을 잡는 행위는 그저 힘의 평형식만 계속 더해주고 있는 꼴인 것이다.

여기서 돌림힘 평형만의 장점이 드러난다.

힘의 평형은 필연적으로 모든 힘에 관한 미지수를 포함하고 있다.

만약 힘의 평형만으로 문제가 풀린다면, 그건 풀이를 잘못 가져갔거나 문제 설계가 잘못된 것이다.

그러나 돌림힘 평형은 그렇지 않다. 축으로부터 거리가 0인 힘이 만드는 돌림힘은 0이기 때문이다.

다시 말해, 미지수가 F_A, F_B인데 문제에서 F_A만을 물어본다면 B를 축으로 잡았을 때 식 한줄로도 해결이 된다.

문제에 따라 축설정이 중요한 이유이기도 하다.

이는 1.2. 연립방정식의 동치 조건에서 제시된 식 (3)의 활용에 대응된다.

축설정은 수학에서의 수열문제와 같이 경험에서 오는 발상이 중요하다. 죽어라 문제 풀어보란 얘기지.

그렇지만 축설정의 목적성 자체는 명확하다.

펜을 잠시 내려놓고, 문제에서 요구하지 않는 미지수를 적절하게 지워버릴 수 있는 축을 고민하다보면 점점 실력이 늘 것이다.

화이팅.

2.1.1. 미지수의 개수 > 식의 개수?

(그림 2)

이제 받침대 C를 추가해보자.

C의 위치를 안다고 가정하더라도, 주어진 상황은 미지수가 F_A, F_B, F_C로 세 개이다.

뽑아낼 수 있는 연립방정식은 두 개뿐이므로, 세 힘의 크기는 결정되지 않는다.

이를 해결하기 위해 보통 문제에서는 세 힘 중 하나의 크기를 제시하거나, 두 힘의 비율을 준다.

전자의 경우는 최대, 최소 문제와 연결되고, 후자의 경우는 힘의 합성(무게 중심, 혹은 등가힘)과 연관이 있다.

2.1.1.1. 최대, 최소 문제

(그림 3)

위 문제에서 A, B, C의 무게와 B, C의 위치가 주어져 있다.

즉, 주어지지 않은 것은 A의 위치, D가 C에 작용하는 수직 항력의 위치, 수직 항력의 크기이다.

미지수가 세개이므로, 일반적으로 이 문제의 미지수들 전부가 결정이 되지는 않는다.

그러므로 평형을 유지하기 위한 x의 최댓값을 물어본다.

수직 항력의 위치를 간접적으로 제시함으로써 미지수 2개, 식이 2개가 되므로 문제의 모든 미지수가 결정된다.

복잡한 최대 최소를 묻는 상황에서 미지수를 어떻게 끄집어내는가? 에 관하여는 '돌림힘 - 선형성'에서 다루겠다.

2.1.1.2. 등가힘

(그림 2)에서  F_B : F_C = 2 : 1이고, B와 C의 위치가 주어졌다고 생각해보자. (이와 같은 조건은 종종 축바퀴나 도르래를 통해 제시되는 경우도 있다.)

힘의 평형식은

F_A + F_B + F_C - W = 0 ... (7)

이고,

사람을 축으로 잡았을 때, 돌림힘의 평형식은

aF_A - bF_B - cF_C = 0 ... (8)

이다.

우리의 목적은 주어진 조건을 이용하여 (7)과 (8)에 들어있는 미지수를 최대한 줄이는 것이다.

F = F_B + F_C

라고 해보자. 그렇다면 (7)은

F_A + F - W = 0

로 쓸 수 있다. 꽤 깔끔하다.

다시 (8)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

aF_A - [(bF_B + cF_C)/(F_B + F_C)]F = 0

이는 좀 복잡하다. 그렇지만 물리적 의미는 명확하다.

F_B와 F_C 대신에 새로운 힘 F를 잡을 수 있고, 그 F가 작용하는 점의 위치는

(bF_B + cF_C)/(F_B + F_C) = r

이라고 볼 수 있다는 것이다.

r의 식의 형태를 잘 살펴보면, 이는 F_B와 F_C의 역수비로 B와 C 사이의 위치를 내분한 것이다.

즉, F_B와 F_C의 정확한 크기는 모르더라도 비를 안다면 새로운 힘 F의 작용점은 정확하게 결정된다.

설령 크기 비가 주어진 두 힘의 방향이 반대라도, 그저 한 힘의 크기를 음(-)으로 설정해주면 된다.

이를 무게에만 적용하면 소위 말하는 무게중심이 되고,

힘의 평형과 돌림힘의 평형을 사용하기 이전에 주어진 모든 힘들을 합성하면 (그림 1)과 같은 상황으로 환원할 수 있다.

아래와 같은 극단적인 케이스가 아니라면...

2.1.1.3. 아니 진짜 미지수가 더 많은데요

(그림 4)

'변화량 딸깍'으로 잘 알려진 문제다.

그러나 만약 변화량 풀이를 모른다면, 이 문제는 어떻게 접근해야될까?

먼저 이 문제는 최대, 최소를 이용하여 서로 다른 두가지 상황을 제시하고 있으므로, 정역학 평형 조건을 통해 얻어낼 수 있는 식은 총 4개이다.

그렇지만 이 문제에서는 각각의 경우 작용하는 힘이 0이 아닌 받침대가 받치는 힘의 크기는 물론이고, (미지수 2개)

막대, 공, 피에로, 공 넣는 통에 관한 조건이 전부 주어져 있지 않다. (질량 + 위치 정보: 미지수 8개. 사실 공과 피에로는 같이 움직이므로 위치 정보는 7개로 취급하여도 무방하다.)

식은 4개이지만 미지수는 그를 한참 상회하는 10개인 것이다.

그러므로 '아, 이 문제는 미지수가 전부 결정되지 않는 문제이구나.' 라는 느낌이 와야한다.

따라서 결정되지 않는 미지수들을 최대한 줄여보려는 방향으로 풀이를 진행해야한다.

피에로와 공은 같이 움직이므로 하나로 묶을 수 있다. (미지수 2개가 감소했다.)

마찬가지로 막대와 공 넣는 통도 위치에 관한 정보와 질량에 관한 정보 모두 없으므로 하나로 엮어서 보아야 한다. (이제 총 미지수 4개가 감소했다.)

물론 친절하게 문제에서 m_1, m_2로 간접적으로 제시해 주었지만,

이렇게 주어지지 않았더라도 필연적으로 진행해야 하는 작업이다.

그러나 아직 미지수의 개수는 6개로 식의 개수보다 2개 더 많다. 일단 계산을 진행해보자.

공과 피에로(편의상 m_2라고 부르겠다.)가 가장 왼쪽에 위치해 있을 때,

m_2와 왼쪽 받침대 사이의 거리를 x라고 하고,

m_1(막대와 공 넣는 통)과 왼쪽 받침대 사이의 거리를 y라고 하자.

문제에서 받침대가 막대에 작용하는 힘은 물어보지 않았으므로, 왼쪽 받침대를 축으로 잡고 돌림힘의 평형식만을 작성해보자.

m_2x - m_1y = 0

여기서 힘의 평형식을 추가로 작성한다면 식은 한개 늘겠지만 받침대가 막대에 작용하는 힘도 미지수로 추가되므로 문제 풀이에 도움이 되지 않는다.

마찬가지로 m_2가 가장 오른쪽에 위치할 때 오른쪽 받침대를 기준으로 돌림힘의 평형식을 작성하면

m_2(x + 4L - 3L) - m_1(y - 3L) = 0

두 식을 빼면

m_2 - 3m_1 = 0을 얻는다.

이로써 막대, 공, 피에로, 공 넣는 통의 질량, 심지어 위치 정보까지 전부 얻지 못했지만, m_1과 m_2의 비율만은 결정이 됨을 알 수 있다.

이를 확장하면 변화량 풀이를 얻을 수 있고, 바로 다음 장에서 설명할 것이다.

그렇지만 이런 의문이 들 수 있다.

"아니 그럼 x, y, 나아가 공과 공 넣는 통의 질량이 결정이 되지 않아도 m_1, m_2의 비율만은 일정한거잖아? 그럼 m_1, m_2의 위치를 아무렇게나 정해놓고 풀어도 되는거아님??"

맞다.

극단적으로 m_1의 위치가 오른쪽 받침대에 있다고 놓으면 m_2가 가장 오른쪽에 위치해 있을 때는 오른쪽 받침대 위일 것이고,

그렇다면 가장 왼쪽에 위치해 있을 때는 왼쪽 받침대로부터 왼쪽으로 L만큼 떨어진 곳이다.

이제 왼쪽 받침대를 축으로 잡으면 질량비를 바로 얻을 수 있다.

다만 이러한 풀이의 출발점은 미지수가 전부 결정되지 않는다는 의심이고, 이는 연립 방정식의 결정 조건에서 나온 것이다.

후자가 선행되어야 다른 상황이 나와도 전자를 떠올릴 수 있다. (예를 들어, 26 수능 18번 전기장 문제도 이 상황과 유사하다.)

그렇지 않다면 그저 발상적이고 실용성 없는 별해로만 남을 것이다.

2.2. '하나의 계', 그리고 '변화량'

2.2.1 하나의 계

(그림 5)

그림 5의 막대 A, B에서 정역학 평형을 이룰 조건을 따져보면,

각각의 막대에서 식이 2개씩, 총 4개의 연립 방정식이 나온다.

미지수 또한 철수가 A를 받치는 힘, 영희가 A를 받치는 힘, x, 받침대가 B를 받치는 힘으로 총 4개가 존재한다.

물론 B의 무게도 미지수지만, 받침대가 B를 받치는 힘과 작용점이 같으므로 두 힘을 더하여 단순하게 하나의 힘으로 볼 수 있다.

이제 미지수도 4개, 식도 4개이므로 쭉 달리면 풀 수 있다.

그렇지만 이대로 진행하기에는 식과 미지수의 개수가 너무 많다. 다음과 같이 접근해보자.

철수가 A를 받치는 힘과 철수가 B를 누르는 힘의 방향이 반대이고, 그 크기의 차이는 철수의 무게와 같다.

물론 영희의 경우도 마찬가지이다.

이제 A에서 힘의 평형식과 B에서의 힘의 평형식을 서로 더해버린다면, 기존에 미지수로 설정한 철수, 영희가 각각 A를 받치는 힘은 상쇄되어 사라져버린다.

이는 A, B에서 축을 동일하게 잡았을 경우 돌림힘의 평형식에서도 같은 방식으로 철수, 영희가 각각 A를 받치는 힘은 소거된다.

위와 같은 과정을 거치면 미지수 2개가 사라지고, 식도 2개로 줄게된다.

물리적으로 이는 철수, 영희, 공, A의 무게중심이 모두 B의 위에 올라와있다고 가정하는 것과 같다.

철수, 영희와 막대 간의 상호작용을 아예 무시해버리고 식을 세워버리는 것이다.

이를 '하나의 계로 본다.'고 한다.

이어서 축도 받침대로 잡아버리고, 힘의 평형식마저 지워버린다면 그저 하나의 미지수 x로만 구성된 1차방정식이 튀어나온다.

이는 물리적으로 'A, B, 공, 철수, 영희의 무게중심이 받침대 위에 있다.'고 한다.

수학적으로 따지면, '하나의 계로 본다.'는 행위는 (1), (2)를 따로 적는 수고를 들이지 않고 (3)에 해당하는 식을 한번에 세우는 것이다.

그러므로 하나의 계로 본 식은 계 전체가 정역학 평형 상태를 이룬다는 조건과 완벽하게 동치가 되지 않는다.

당장 위에서 세운 식도 철수, 영희가 A를 받치는 힘이 누락되어있다.

따라서 최대, 최소를 묻는 문제에서 하나의 계를 잡았을 경우에는 꼭 두 막대 중 하나에서 돌림힘의 평형을 이룰 조건을 체크해주어야 한다.

계가 평형을 이루고 있는 것처럼 보여도, A만 무너지는 경우를 누락하고 있을 수 있기 때문이다.

(그림 6)

그림 6과 같은 경우가 하나의 계를 잡았을 때 큰 이득을 보지 못하는 대표적인 예시이다.

하나의 계로 잡았을 때 식은 2개만 남지만,

미지수는 '양 끝 받침대가 각각 막대에 작용하는 힘'(p가 받치는 힘과 q가받치는 힘은 동일하므로 미지수의 개수가 한 개 줄어든다.), 그리고 'x'로 총 3개가 남기 때문이다.

이를 해결하기 위해서는 A 또는 B 둘 중 하나에서 정역학 평형을 이룰 조건을 적어주어야 한다.

그래야만 주어진 상황과 동치가 되어 문제 해결이 가능하다.

일반적으로, 여러 물체를 하나의 계로 보았을 때, 적어도 2개 이하의 미지수가 남아야만 "'하나의 계를 이용한 풀이'가 유리하다." 라고 주장할 수 있다.

식의 개수가 2n개에서 2개로 줄어들기 때문이다.

2.2.1.1. 무게중심

등가힘이 작용하는 위치는

(bF_B + cF_C)/(F_B + F_C)

임을 2.1.1.2.에서 보였다.

일반적인 힘이 아닌 무게만을 고려해보자. 무게가 각각 m_1, ..., m_n인 n개의 물체의 위치가 각각 x_1, ..., x_n일 때,

등가힘의 크기는 모든 무게의 합 M과 같을 것이고, 그 위치는

(m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_nx_n)/Μ

이다. 이 위치를 무게중심(혹은 질량중심)이라고 한다.

(그림 5)로 돌아가보자.

무게들을 전부 합쳤을 때, 물체의 무게에 해당하지 않는 힘은 받침대가 받치는 힘 뿐이므로 무게중심은 받침대의 위치와 같아야 한다.

그러므로 철수를 기준으로 잡고 각각의 위치를 구해 무게중심을 구해보면 (편의상 B의 무게는 받침대가 받치는 힘에 포함시켰다.)

(70×0 + 10x + 10×2.5 + 50×5)/(140) = 2 ... (11)

이다. x에 대한 1차 방정식이다.

그런데 힘의 평형에 의해 받침대가 받치는 힘의 크기는 140kg × 10m/s²이다.

따라서 (11)의 양변에 1400N을 곱한다면 그저 철수를 축으로 잡은 후 하나의 계에 대해서 돌림힘의 평형을 써준 것과 같다.

일반적으로, 무게중심의 위치를 구하는 풀이는 받침대를 축으로 잡고 돌림힘의 평형식을 쓰는 풀이보다 느릴 수 밖에 없다.

그렇다면 무게중심은 왜 사용하는가?

답은 직관적인 변화를 판단하기 좋기 때문이다.

무게중심을 활용하면 무게가 변하지 않을 때 변화량의 정량계산을 쉽게 처리할 수 있으며, 무게가 변할 때 정성적인 최대 최소 판단에 용이하다.

전자는 바로 밑에서 다룰 것이고, 후자는 다음편 '돌림힘 - 선형성'에서 서술할 것이다.

2.2.2. 변화량

두 방정식을 더함으로써 이득을 보는 경우를 보았으므로, 이젠 두 방정식을 서로 빼주어서 이득을 보는 경우를 살펴볼 것이다.

(그림 7)

앞서 언급했듯 축바퀴는 두 힘의 비율을 나타내는 도구이므로 하나의 축바퀴에 연결되어있는 두 실의 힘을 합성해주면 하나의 힘으로 취급할 수 있다.

즉, 위 문제의 경우 축바퀴를 제거하고, 오른쪽 끝에서 3a만큼 떨어진 곳 p와 왼쪽 끝에서 5a만큼 떨어진 곳 q에 각각 힘이 작용하는 상황과 등가이다.

문제에서는 p에 대해 주어진 정보도 없고, 구하는 값도 아니므로 p를 축으로 잡아주면 미지수가 한 개 소거된다.

이 때, 힘의 평형식도 적어줄 필요가 없음을 느끼면 좋다.

q에 작용하는 힘은 (나)에서가 (가)에서의 2배이다. 이를 각각 2F, F라고 하고, 막대의 무게를 w라고 하자.

(가), (나)에서 각각 돌림힘 평형 식을 세우면

6a × w - 10a × F = 0 ... (9)

6a × w + 10a × W - 10a × 2F = 0 ... (10)

이므로, 두 식을 빼면 w가 자연스레 소거된다.

막대의 위치와 무게는 고정되어 있기에 어떤 상황에서든 막대의 무게가 만드는 돌림힘은 같다.

그러므로 두 식을 빼주기만 해도 w가 바로 소거되는 것이다.

조금 더 물리적으로 접근해보자.

(가)에서도 돌림힘의 평형을 이루고 있었는데, 물체를 올려주었더니 p에 작용하는 힘이 F만큼 커졌다.

다시 말해, p에서 작용하는 힘의 변화는 오로지 추가된 물체에 의해서만 일어난 것이다.

이를 식으로 쓰면

10a × W - 10a × (2F - F) = 0

이다.

위와 같이 (9), (10)의 식을 세우는 것이 아닌, (가), (나)에서 변화한 값만을 고려하여 식을 세우는 풀이를 '변화량 풀이'라고 하며, 이는 명백히 (10)-(9)와 같다.

역시나 수학적으로는 연립방정식의 두 식을 뺀 행위와 같으므로 변화량 풀이에는 누락된 미지수가 존재한다.

이 문제 같은 경우도 (9), (10) 중 하나에서 w를 다시 구해주어야 한다.

'변화량 풀이'의 경우, '하나의 계 설정'과는 달리 1개만이라도 미지수 감소 효과를 본다면 꽤 유용하게 사용할 수 있다.

다만 하나의 계 설정만큼의 많은 미지수 감소를 기대하기는 어렵다.

*별해

사실 이 문제는 q를 축으로 잡는것도 좋은 방법이다.

비록 p에 작용하는 힘은 문제에서 관심을 갖지 않는 값이지만,

변화하는 값인 F와 물체 모두 소거되기 때문에 p에 작용하는 힘은 2w/5로 항상 일정해야 함을 얻을 수 있다.

이는 (가), (나)에서 돌림힘 평형을 이룰 조건을 전부 사용한 것이므로, 그 다음부턴 단순한 힘의 평형 문제로 바뀌었다.

힘의 평형식에서 변화량을 이용해주면 F = W이고, 다시 (가)에서 힘의 평형식을 이용해주면 w를 얻을 수 있다.

2.2.2.1. 무게중심의 변화량

질량이 각각 m_1, m_2, ..., m_,n인 n개의 물체 중, 질량이 m_1인 물체만이 Δx_1만큼 움직였다고 생각해보자. 다른 값들은 전부 고정이므로, 무게중심의 변화는

m_1Δx_1/Μ

이다.

이제 그림 4로 돌아가보자.

전체 무게중심은 두 받침대 사이에 존재해야만 계가 평형을 이룰 수 있다.

즉, 삐에로가 가장 왼쪽과 오른쪽에 위치해 있을 때 무게중심은 각각 왼쪽, 오른쪽 받침대 위에 있다.

따라서 m_2/(m_1 + m_2) × 4L = 3L, m_2는 m_1의 3배이다.

유도 과정에서 알 수 있듯, 무게중심의 변화량을 이용한 풀이는 사실 '하나의 계'에서 힘의 평형을 먼저 이용한 후, '변화량 풀이'를 이용한 것과 동치이다.

(m_1 + m_2) × 3L은 받침대에 작용하는 힘의 변화량과 같기 때문이다.

3. 2차원으로의 확장

지금까지 정리한 내용들은 2차원 돌림힘으로도 확장할 수 있다.

임의의 2차원에서 평형을 이루고 있는 물체는, 다음과 같은 세가지 연립 방정식과 동치이다.

I. x방향 힘의 평형

II. y방향 힘의 평형

III. 돌림힘의 평형

역시나 축은 아무데나 잡아도 된다.

다만 축을 잡는 자유도는 1차원 상황보다 훨씬 높다.

아래 글을 참조하자.

https://m.dcinside.com/board/physics2/5312

위 글에서는 여러 힘이 한 점에서만 만나는 경우를 다뤘지만,

요점은 관심이 없는 힘이 만드는 돌림힘을 제거하는 것이다.

여러가지 힘이 한 점에서 모이지 않더라도,

문제에서 요구하지 않는 두 힘의 연장선만을 축으로 잡으면 훨씬 편해진다.

시험기간이라 일단은 여기까지.

3.은 시간이 없어서 날림으로 썼으니 추후에 보충할거고...

귀찮음을 이겨낸다면 선형성으로 돌아오겠읍니다.

[목련(flower0001)]

[IMY(curse7043)]

[IMY(curse7043)]

읽으면서 그동안 모호하게만 생각하고 있던 부분을 확실하게 정리한거같네요. 좋은 칼럼 감사합니다.

[Axel(reliable4996)]

일단 추천

[1245(cashcarti)]

GOAT

[익명(moolihak2)]

이거읽고수능돌림힘문제맞힘

[Lagrangian(tony0485)]

그림은 xy평면상의 힘 vec{F_1}, vec{F_2}를 나타낸 것이다.

[진동수(f8r64drjd4xm)]

[노려라설건축(overlook1977)]

강기원식 돌림힘 풀이