형들 이거 증명 어떻게 하나요

[익명(223.38)]

(a^2 + 2ab + b^2) / (a^2 - ab + b^2) <= 4

나눈 값이 4 이하인건 확실한데 이걸 증명할 방법 있을까요?

고등학교 1학년 범위 내에서 증명해야 하는데 막막합니다.

[익명(211.36)]

a와 b의 조건에 따라 성립 안할수도 있는데

[익명(223.38)]

깜박하고 안적었네요 a, b 는 양의 실수입니다

[익명(211.36)]

분모가 항상 양의 정수니까 이걸 이항하면 되지 않을까

[익명(211.36)]

without loss of generality, a는 b보다 작거나 같다 그러므로 ab는 b^2보다 작거나 같으므로 b^2 -ab는 0보다 크거나 같다

[익명(211.36)]

a^2은 항상 0 이상이므로 분모는 항상 0보다 크거나 같다

[익명(211.36)]

분모는 0이 될 수 없으므로 분모는 양의 정수가 되고 부등식의 성질을 이용해 양변에 분모를 곱하면 우항은 4a^2 - 4ab + 4b^2이 됨

[익명(223.38)]

감사합니다 ㅠㅠ

[익명(211.36)]

이제 좌항을 우항으로 이항하면 3a^2 - 6ab + 3b^2이 되고 이를 인수분해하면 3(a - b)^2이 됨

[익명(211.36)]

이는 항상 0보다 크거나 같다. 그러므로 처음 주어진 부등식은 성립한다

[익명(1.232)]

걍 분모가 (a-b)^2+ab인데, a랑 b가 양의 실수니까 이건 항상 양수임 ㅇㅇ 그러니까 그냥 양변에 분모를 곱해주면 a^2+2ab+b^2<=4a^2-4ab+4b^2 가 됨

[익명(223.38)]

답변 감사합니다

[익명(1.232)]

그럼 이제 좌변에 있던 걸 다 우측에 옮겨보면 3(a-b)^2 >= 0 이 됨 끝