현대 수학의 공리가 모두 집합임
두 집합에 대하여 한 집합의 원소가 다른 집합의 원소가 되고[3] 그 역도 성립할 때,[4] 두 집합을 같다고 정의한다.
∀X∀Y(∀a(a∈X↔a∈Y)↔X=Y)∀X∀Y(∀a(a∈X↔a∈Y)↔X=Y)
공집합이 존재한다.
∃X∀a (¬(a∈X))∃X∀a (¬(a∈X))
임의의 집합에 대해, 그 집합에 포함되며 특정 성질을 만족하는 원소들의 집합이 존재한다.
P(a)P(a)가 aa 의 성질이라 할 때, ∀X∃Y∀a(a∈Y↔(a∈X∧P(a)))∀X∃Y∀a(a∈Y↔(a∈X∧P(a)))
임의의 두 집합에 대해, 그 두 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
∀a∀b∃X(a∈X ∧ b∈X)∀a∀b∃X(a∈X ∧ b∈X)
임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들의 원소들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
∀X∃U∀a(∀b(b∈X ∧ a∈b)⇒a∈U)∀X∃U∀a(∀b(b∈X ∧ a∈b)⇒a∈U)
임의의 집합에 대해, 그 집합의 부분집합들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
∀X∃P∀Y(∀a(a∈Y⇒a∈X)⇒Y∈P)∀X∃P∀Y(∀a(a∈Y⇒a∈X)⇒Y∈P)
공집합을 원소로 가지고, xx를 원소로 가진다면 S(x)S(x)도 항상 원소로 가지는 집합II가 존재한다.
∃I(∅∈I∧(∀x(x∈I⇒S(x)∈I)))∃I(∅∈I∧(∀x(x∈I⇒S(x)∈I)))
공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 가진다.
∀X(∃a(a∈X)⇒(∃b(b∈X ∧ ¬ ∃c(c∈b ∧c∈X))))∀X(∃a(a∈X)⇒(∃b(b∈X ∧ ¬ ∃c(c∈b∧c∈X))))
임의의 집합 AA에 대하여, 모든 x∈Ax∈A에 대해 관계 ϕ(x,y)ϕ(x,y)를 만족시키는 yy가 유일하게 존재하면,
AA의 ϕ(x,y)ϕ(x,y)에 의한 상을 포함하는 집합이 존재한다.
∀A[∀x∈A∃!yϕ(x,y)⇒∃Y∀x∈A∃y∈Yϕ(x,y)]∀A[∀x∈A∃!yϕ(x,y)⇒∃Y∀x∈A∃y∈Yϕ(x,y)
공집합을 포함하지 않는 임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.
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