간단한 넌센스같은 중등수학문제

[d(220.118)]

a^b 가 유리수가 되는 무리수 쌍 a, b 가 존재하는가? 

[ㄱㄱ(58.232)]

퍽이나 중등수학이시겠습니다

[d(220.118)]

중딩수학에 무리수 안배우나? 그럼 고등수학문제로 정정...

[과제도우미(175.192)]

당연히 존재하는거 아님?

[d(220.118)]

논리적인 이유를 대야함. ㅎㅎ

[ㅁ(58.239)]

로그 쓰면 바로 나오겠네

[ㅁ(58.239)]

Sqrt 2의 log(2, 9)승이라던지

[d(220.118)]

뭐여 찾아보니 중딩들 무리수 배우네. 중딩얘기한게 로그나 기타 증명 쓰지 말라는 얘기였는데. 암튼, 답은 그냥 분기문으로 생각하면 됨. sqrt(2)^sqrt(2) 는 유리수나 무리수 둘중 하나임. 만약 유리수라면 (sqrt(2),sqrt(2)) 로 증명끝. 아니라면, sqrt(2)^sqrt(2) 는 무리수란 이야기. 그럼, (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) == (sqrt(2)^2) == 2 로 (sqrt(2)^sqrt(2),sqrt(2)) 로 어느쪽으로 가던 존재함으로 증명끝. ㅎㅎ

[아놔콘다(anwaconda)]

a^b = M/N인 정수 M,N이 존재한다고 가정함. 양변에 N을 곱하면 N*a^b = M 이 됨. 좌변 우변 모두 정수. 이제 밑이 M인 로그를 양변에 씌우면.... log(N*a^b) = logN + loga^b = 1

[아놔콘다(anwaconda)]

우변이 1이므로 좌변의 두 무리수 logN 와 loga^b의 합도 유리수라는 뜻인데... 유리수는 덧셈에 대해 닫혀있으므로 두 무리수를 더해서 유리수가 되는 일은 없음. 따라서 a^b가 유리수인 무리수 a,b는 없음

[d(220.118)]

두 무리수를 더해서 유리수가 되는일은 없음? 루트2 와 -루트 2 는 둘다 무리수, 그러나 더하면 0, 유리수.

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

{ (√2)^(1/√2) }^√2

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

이런 건 반례를 들면 한방에 증명 가능한 문제니깐...

[익명(179.43)]

프갤럼들 대단한거 같다 ㅋ 고등학교에서도 지수의 확장 유리수까지밖에 안하는데 어디서 뭘 보고 와서 무리수 지수를 논하고 있는거지 ㅋㅋ

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

아 반례 잘못 들었다. 반례 정정. { 2^(1/√2) }^√2

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

참고로 2^(1/√2)는 무리수는 물론이고 초월수임.

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

사실 이 문젠 너무 쉽고, 좀 어려운 문제 내려면 a^b ∈ 유리수, a∈유리수, b∈무리수인 (a, b) 쌍이 존재하는가? 이 정도는 되어야 풀 맛이 남.

[익명(179.43)]

대단하다니까 신난 모양이네 ㅎㅎ 중딩 어쩌고 드립친거 뭐란건데 ㅋ

[ㅅㅅㅅ(125.128)]

착각도 오지네. 니 댓글 가지고 반응한 거 아닌데. 댓글 더 달렸길래 무슨 댓글인가 보러 왔다가 내가 반례 잘못 든 거 확인하고 고친 건데 혼자 원맨쇼하고 있네.

[아놔콘다(anwaconda)]

자신만만하게 썼는데 틀렸네. log(a^b) 가 1임을 증명하는 것은 동어반복에 불과함. 원래 문제를 다른 형태로 표현한 것일뿐.