q = w  + x i + y j + z k

p = w' + x'i + y'j + z'k


| w+y  z-x || w'+y' z'-x' |

| z+x  w-y || z'+x' w'-y' |

= | w''+y'' z''-x'' |

  | z''+x'' w''-y'' |


이 행렬곱의 결과를 표로 만들면


   w'    x'    y'    z'

w w''1  x''1  y''1  z''1

x x''2 -w''2  z''2 -y''2

y y''3 -z''3  w''3 -x''3

z z''4  y''4  x''4  w''4


이는 원래 사원수 곱의 결과에

오른쪽 아래 2x2부분이 음의 결과가 나온것이다.


그러므로 y, z, y'과 z'의 곱의 결과를 두번씩 더하고 빼주면

총 12번의 곱으로 사원수의 곱을 구할 수 있다.