0. 나는 이상한 사람이 아니므로 finite-dimensional real vector space만 생각하겠음.




1. (0,2)-tensor를 부르는 다른 이름은 bilinear form임.

왜냐하면 B가 (0,2)-tensor이면 B: V×V → R인 linear map으로 이해할 수 있으니까.

그런데 bilinear form은 두 가지 방식으로 V에서 V^*로 가는 선형사상을 줌.


x ↦ B(x,.),

x ↦ B(.,x).


이 둘은 일반적으로 다름.

실제로, 이 둘이 같은 경우는 정확히 B가 symmetric인 경우임.

(여기서 symmetric의 정의: 항상 B(x,y) = B(y,x).)




2. B가 symmetric bilinear form이면, x ↦ B(x,.) = B(.,x)로 정의되는 자연스러운 선형사상 B: V → V^*가 생김.

즉 "symmetric bilinear form이 주어져 있다" = "vector를 dual vector로 바꿀 자연스러운 방법이 있다"인 것임.

물론 B: V → V^*가 가역일 이유는 없음. 따라서 symmetric bilinear form이 있다고 해도 dual vector를 vector로 바꿀 방법을 주는 것은 아님.

그럼 언제 가역이냐? 정확히 B가 nondegenerate인 경우임.




3. B가 symmetric bilinear form일 때, B: V → V^*가 bijection인 경우를 nondegenerate라 부름.

사실 수학은 nondegenerate, 물리는 nonsingular, 공학은 invertible이라 부르는 듯.

그리고 nondegenerate symmetric bilinear form이 너무 길기 때문에 어떤 책은 pseudo-inner product, 어떤 책(J. Lee)은 scalar product라고 부름.

여하튼 "nondegenerate symmetric bilinear form이 주어져 있다" = "vector와 dual vector 사이에 자연스러운 일대일대응이 있다"인 것임.




4. B가 nondegenerate symmetric bilinear form일 때, B의 역함수 B^-1: V^* → V는 뭘까?

V = V^**이기 때문에 B^-1: V^*×V^* → R임을 알 수 있음. 즉 B^-1는 (2,0)-tensor임.

B^-1(a,b) = b(B^-1(a)) = a(B^-1(b))인 것.


(두 번째 등호가 성립하는 이유: a = B(x), b = B(y)로 두면,

b(B^-1(a)) = B(y)(x) = B(x)(y) = a(B^-1(b)).)


기저가 있어서 성분 표기를 할 수 있을 때, B = (B_ij)로 표기하고 B^-1 = (B^ij)로 표기함.

리만기하에서 metric g의 역행렬이 g^ij니 뭐니 하는 얘기가 나온 게 이거 때문임.




5. B가 symmetric bilinear form이면, Sylvester's law of inertia에 의해 signature가 정의됨.

구체적으로 말하면, 기저를 적절히 택하면 B_ij가 i = j인 경우는 0, 1, -1 셋 중 하나이고 다른 경우는 모두 0이 되도록 만들 수 있다는 정리임.

여기서 (1의 개수, 0의 개수, -1의 개수)의 삼중쌍은 기저의 선택에 의존 안 함.

이를 B의 signature라 부름.

예를 들어, Lorentzian이면 signature가 (+++-)라고 얘기하는 게, signature가 (3,0,1)이라는 뜻임.

그럼 signature가 왜 중요하냐?


B가 symmetric bilinear form이고 signature가 (p,q,r)일 때:

(1) -B의 signature는 (r,q,p)임.

(2) B가 nondegenerate iff q = 0.

(3) B가 inner product iff q = 0, r = 0.

(4) -B가 inner product iff p = 0, q = 0.

(5) B = 0 iff p = 0, r = 0.




6. 기하학에서 nondegenerate symmetric bilinear form의 smooth field가 주어진 smooth manifold를 pseudo-Riemannian manifold라 부름.

그리고 그 bilinear form을 pseudo-Riemannian metric이라 부르고, 그 manifold의 signature는 그 bilinear form의 signature임.

0의 개수는 항상 0이기 때문에 (p,q,r) 대신 (p,r)로 씀.

Riemannian manifold = pseudo-Riemannian manifold of signature (n,0).

Lorentzian manifold = pseudo-Riemannian manifold of signature (n,1).




7. 그리고 아까 nondegenerate symmetric bilinear form이 주어져 있는 게 vector와 dual vector 사이에 자연스러운 일대일대응이 있다는 것이라고 했잖음.

이 일대일대응을 musical isomorphism이라 부름.

이 일대일대응으로 vector를 dual vector로 바꾸는 것을 flat, 그리고 dual vector를 vector로 바꾸는 것을 sharp으로 씀.

진짜 음악에 나오는 그 기호 맞음.

왜냐하면 vector를 dual vector로 바꾸면 성분 첨자가 내려가고, dual vector를 vector로 바꾸면 성분 첨자가 올라가니까...




요약: nondegenerate symmetric bilinear form은 vector와 dual vector 사이에 일대일대응이다.