0. 나는 이상한 사람이 아니므로 oriented Riemannian manifold만 생각하겠음.

막 nonorientable이나 pseudo-Riemannian 같은 거 생각 안 함.




1. 리만기하에서 가장 하고 싶어하는 "곡률 재기" 같은 걸 하려면, "똑바로 가기"가 뭔지 정의되어야 함.

"똑바로 가기"가 정의되어야 geodesic이 정의되고 이 "똑바름"을 기준으로 공간이 얼마나 휘었는지를 잴 수 있음.

이때 "똑바름"을 정의하는 것이 connection임.

(여담으로, connection을 한국어로 접속이라 번역하던데 왜 접속인지 모르겠음. 번역 오류일 수도?)




2. 미분기하에서 connection을 정의하는 방식은 여러 가지가 있는데, 내 생각에 요새 대중적인 방식은 tangent bundle을 이용한 방식(J. Lee 방식) 같음.

M이 smooth manifold일 때, M 위의 connection이란 다음 셋을 만족하는 함수 ∇: ΓTM × ΓTM → ΓTM임.

(1) ∇_XY에서 X에 대해 C(M)-linear;

(2) ∇_XY에서 Y에 대해 R-linear;

(3) Leibniz rule.


그리고 다들 잘 아는 리만기하의 기본정리: Riemannian manifold 위에서 metric-compatible, torsion-free connection이 유일하게 존재한다.

이를 Levi-Civita connection이라 부른다.

Riemannian manifold에서의 모든 곡률은 이 Levi-Civita connection을 이용해 계산함.




3. 그런데 metric-compatible은 납득이 가는데, torsion-free는 정말 자연스러운 조건일까?

이에 의문을 가지고 Cartan이 연구를 했나봐.

그래서 metric-compatible connection이 주어진 Riemannian manifold를 Riemann-Cartan manifold라 부름.

여담으로, torsion 부분에 자유도가 좀 있으니 맥스웰 방정식을 집어넣어서 상대성이론과 전자기학을 합치려고 아인슈타인이 시도했었는데 잘 안됐었다고 함.

궁금하면 teleparallelism 검색.




4. (M,g,∇)이 oriented Riemann-Cartan n-manifold라고 하자.

이제 local smooth frame (E1, ... En)이 주어지면, connection 1-forms w^j_i라는 것을 정의할 수 있음.


∇_X Y = ∇_X (Y^i E_i) = X(Y^i) E_i + Y^i ∇_X E_i = X(Y^i) E_i + Y^i w^j_i(X) E_j.


원래는 omega인데 쓰기 힘드니 w로 쓰겠음. 총 n×n개의 1-form들 w^j_i를 ∇의 connection 1-forms라 부름.

물론 local 하게만, local smooth frame (E1, ... En)에 의존해서 정의된 것임.

∇이 있으면 connection 1-forms가 정의되고, 역으로 connection 1-forms에 대한 정보를 알고 있으면 ∇을 계산할 수 있음.

즉 둘이 일대일대응이 있는 거.

그리고 connection 1-forms를 n×n개의 1-form들로 볼 수도 있지만, 묶어서 (w^j_i)를 n×n-matrix-valued 1-form으로 생각할 수도 있음.

심지어 local smooth frame을 좋게 주면, oriented orthonormal로 주면, w는 Lie algebra so(n)-valued 1-form이 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있음.




5. ∇은 abstract 하게 axiomatic 하게 정의되어 있어서 어려운데, 우리에게 친숙한 1-form을 이용해 계산할 수 있다니, 완전 좋잖아?

그런데 한 가지 문제가 있음. 바로 local 하게만 정의되어 있고 local smooth frame에 의존한다는 것임.

그럼, smooth frame에 의존하지 않게 만들 수는 없을까? 하고 frame에 대한 정보까지 들어 있는 더 높은 bundle로 올리기로 함.

FM을 M의 (oriented orthonormal) frame bundle이라 하자.

이때 FM 위에서 so(n)-valued 1-form w를 다음과 같이 정의함.


w(X) = ( w^i_j(π_* X) ),


여기서 w^i_j는 X = s_* π_* X를 만족하는 임의의 local oriented orthonormal smooth frame s에 대해서 connection 1-forms를 계산한 것임.

이 s의 선택에 의존하지 않는다는 것도 확인할 수 있음.

그리고 정의에 의해, s가 local oriented orthonormal smooth frame일 때, s로 w를 pullback 하면 정확히 s에 대한 ∇의 connection 1-forms가 나옴.




6. 이제 connection을 이해하는 세 방식이 있음.

(1) 기존의 connection ∇: ΓTM × ΓTM → ΓTM.

(2) Local 하게 connection 1-forms w^i_j.

(3) Frame bundle에서 so(n)-valued 1-form w.


(1)은 abstract 하게 axiomatic 하게 정의되어 있다는 단점이 있음.

(2)는 local 하게만 정의되고 local smooth frame에 의존한다는 단점이 있음.

(3)은 tangent bundle이 아닌 frame bundle에서 다뤄야 한다는 단점이 있음.




7. Tangent bundle TM과 frame bundle FM 사이에도 모종의 duality가 있음.

TM이 주어지면 그 기저를 모으면 되니까 당연히 FM을 생각할 수 있겠지.

역으로 FM이 주어지면 그 정보만으로 TM을 알 수 있을까?

가능함! FM × R^n을 생각하고, 이를 다음과 같이 quotient 하면 됨.

(f,v) ~ (f⋅g, gv) ∀g in SO(n).

실제로 [f = (E_i), v = (v^i)] ↦ v^i E_i가 well-defined bijection (FM × R^n)/~ → TM임을 알 수 있음.




8. 한편, connection은 tangent bundle 말고 임의의 vector bundle에 대해서도 되잖아.

그럼, 임의의 frame bundle(?)에 대응하는 개념은 뭐냐? 이게 principal bundle임.

사실 frame bundle은 principal SO(n)-bundle이 됨.

그리고 principal G-bundle에 대해, G가 GL(R^n) representation이 있을 때, 위와 같은 quotient를 생각하면 vector bundle이 등장함.

이를 associated vector bundle이라고 함.


그럼 connection은? principal bundle에 대해서도 connection 개념을 정의할 수 있음.

Principal G-connection은 몇 가지 조건을 만족하는 Lie algebra g-valued 1-form으로 정의됨.

실제로 {metric-compatible connections ∇ on TM}과 {principal SO(n)-connections on FM} 사이에 일대일대응이 있음.




9. 슬슬 더 쓰기 귀찮아져서 마무리해야 할 것 같음.

좀만 더 얘기하자면, principal G-bundle P의 connection은 TP의 horizontal distribution과 일대일대응이 있는데, flat인 경우가 정확히 integrable, 즉 horizontal foliation인 경우에 대응함.

그리고 {flat principal G-bundles over M}/isomorphism과 Hom(π_1(M),G)/conjugation 사이에 일대일대응이 있다.

이때 forward map은 holonomy representation을 주는 함수임: 루프를 lift 하고 양끝점의 차이를 regular G-action의 차로 재는 거.

역은 좀 재밌는데, M의 universal covering M'을 생각하고, M' × G를 holonomy와 deck transformation의 곱으로 quotient 하면 자연스러운 flat principal G-bundle이 등장함.

참고로, G가 아까처럼 matrix representation이 있으면 vector bundle과 대응이 되니까 위의 일대일대응의 vector bundle 버전도 있음. 이건 친숙하...지는 않아도 들어봤을 거임.




요약: Connection을 생각하는 방식은 여러 가지가 있다. TM과 FM 사이에는 모종의 duality가 있고, TM을 vector bundle로 일반화 한다면 FM은 principal bundle로 일반화 된다.