1. 일단 위키백과에 있는, 가장 기본적인 버전의 정리는 다음과 같음.


정의 1. A Riemann surface is a connected complex manifold of complex dimension one.


정리 1. Every simply-connected Riemann surface is biholomorphic to exactly one of the open unit disc D, the complex plane C, or the Riemann sphere P.


이 정리는 Riemann mapping theorem의 일반화라고도 볼 수 있음.

그런데 이 정리가 함의하는 바가 상당히 많음.

우선 universal cover를 이용해 다음과 같은 사실을 알 수 있음.


보조정리 2. Every Riemann surface has a universal cover by a simply-connected Riemann surface.


따름정리 3. Every Riemann surface has a universal cover by exactly one of the open unit disc D, the complex plane C, or the Riemann sphere P.


따름정리 3을 토대로, Riemman surface를 세 종류로 분류할 수 있음: Riemann surface가 universal cover로 D를 갖는 경우 "hyperbolic", C를 갖는 경우 "parabolic", P를 갖는 경우 "elliptic".




2. 좀 더 구체적으로 Riemann surface를 분류할 수 있을까?


(1) S is an elliptic Riemann surface.


따름정리 3에 의해, S = Aut(P)/G for some discrete subgroup G = π_1(S) acting freely on P.

Aut(P) = {Mobius transformations} = PSL(2,C)인데, 모든 Mobius transformation은 P에서 fixed point를 가지므로 G는 trivial일 수밖에 없음.


정리 4. The Riemann sphere is the only elliptic Riemann surface (upto biholomorphism).


(2) S is a parabolic Riemann surface.


따름정리 3에 의해, S = Aut(C)/G for some discrete subgroup G = π_1(S) acting freely on C.

Aut(C) = {az+b|a, b in C, a ≠ 0}인데, fixed point가 없으려면 a = 1, b ≠ 0이어야 함.


G = trivial인 경우, S = C.

G = <g>인 경우, g is a conjugation of z+1이므로, S = the cylinder C/Z.

G = <g, g'>인 경우, G = a conjugation of <z+1, z+τ>이므로, S = a torus C/Z+τZ.

이때 <z+1, z+τ>와 <z+1/τ, z+1>이 conjugate이므로, Im(τ) > 0라고 할 수 있음.

그 외의 경우는 G가 discrete일 수 없음.


정리 5. A parabolic Riemann surface is biholomorphic to one of the following.

(a) The complex plane C.

(b) The cylinder C/Z.

(c) The torus C/Z+τZ for some τ in C with Im(τ) > 0.


(3) S is a hyperbolic Riemann surface.


(1)과 (2)에서 결과에 의해, P, C, C/Z, C/Z+τZ 외에는 전부 hyperbolic임.

예를 들면, 대표적으로 다음과 같은 게 있음.

(a) C - {finite points more than 1}.

(b) A compact Riemann surface of genus at least 2.

그 외에 이상한 것도 많음. 예를 들면, P - the Cantor set이라든가...




3. 그럼 topology는 같은데 서로 다른 Riemann surface가 되는 경우는 얼마나 가능할까?

이게 바로 Teichmuller theory의 시작임.


정의 2. The moduli space M(S) of a connected orientable smooth surface S is the set of all Riemann surface structures on S upto biholomorphism.


정리 5에서 (c)를 보면, 뭔가 torus를 모두 모은 게 the upper half plane H가 되는 것 같음.

즉 Riemann surface structure를 모두 모으면 또 다른 기하학적 대상이 되는 것 같음.

사실 torus의 경우에는 다음 사실을 확인할 수 있음.


정리 6. C/Z+τZ and C/Z+τ'Z are biholomorphic iff τ' = f(τ) for some Mobius transformation f in PSL(2,Z).


그래서 torus T의 경우, M(T) = H/PSL(2,Z)가 되는데, 얘도 Riemann surface가 되긴 하지만 우리가 기대했던 것만큼 예쁜 친구는 아님.

그럼, H는 뭐에 대응하냐, moduli space가 아니라 Teichmuller space에 대응함.


정의 3. The Teichmuller space T(S) of a connected orientable smooth surface S is the set of all Riemann surface structures on S upto biholomorphism isotopic to the identity.


일반적으로 Teichmuller space가 moduli space보다 훨씬 예쁜 기하학적 대상이 됨.

몇 가지 예시를 들면 다음과 같음.


M(P) = T(P) = {P}.

M(D) = T(D) = {C, D}.

M(T) = H/PSL(2,Z), T(T) = H.


그리고 connected closed orientable surface S(g) of genus g at least 2의 경우는 좀 흥미로운 게 많음.

Teichmuller space T(S(g))는 homeomorphic to R^(6g-6)임이 알려져 있음.

그리고 complex structure도 가지고 있고, Weil-Petersson metric이라는 Riemannian metric도 존재하는데 얘는 incomplete Kahler임.




4. 좀 더 리만기하적인 관점으로 이해할 수도 있음.

Riemann surface의 정의로서 사실 다음 둘은 동치임.


(a) S is a connected complex manifold of complex dimension one. 

(b) S is a connected oriented smooth surface with a conformal structure.


(a)에서 (b)로 가는 건, biholomorphism이 angle-preserving이니까 1과 i가 수직이 되는 conformal structure를 주면 됨. 그런데 (b)에서 (a)로 가는 건 좀 까다로움.


(b)의 관점으로 uniformization theorem을 이해할 수도 있음.


보조정리 7. D has a unique complete hyperbolic metric in its conformal class.

C has a complete flat metric in its conformal class, which is unique upto constant-scaling.

P has a unique complete spherical metric in its conformal class.


증명은 존재성은 uniformization, 유일성은 Killing-Hopf 쓰면 됨.


보조정리 8. D has a complete metric of constant curvature k in its conformal class iff k < 0.

C has a complete metric of constant curvature k in its conformal class iff k = 0.

P has a complete metric of constant curvature k in its conformal class iff k > 0.


증명은 "if"는 보조정리 7, "only if"는 Killing-Hopf 쓰면 됨.


따름정리 9. Every Riemann surface has a complete metric of constant curvature k in {-1, 0, +1} in its conformal class.

(a) A Riemann surface is hyperbolic iff it has a complete hyperbolic metric in its conformal class.

(b) A Riemann surface is parabolic iff it has a complete flat metric in its conformal class.

(c) A Riemann surface is elliptic iff it has a complete spherical metric in its conformal class.


따름정리 10. Every connected orientable Riemannian surface is conformally equivalent to a unique complete surface having constant curvature k in {-1, 0, +1}.




5. Teichmuller space도 S(g) with g at least 2인 경우에 리만기하적인 관점을 응용하여 여러 동치인 정의를 만들 수 있음.

사실 S(g)에 대해서는 다음과 같은 일대일대응이 있음.


{complex structures} = {almost complex structures} = {conformal structures} = {hyperbolic metrics}.


첫 번째 등호는 2차원에서 모든 almost complex structure가 integrable이기 때문임.

두 번째 등호의 forward 방향은 Riemannian metric 아무거나 하나 g를 택하고 g(X,Y) + g(JX,JY)의 conformal class 생각하면 됨.

두 번째 등호의 backward 방향은 conformal class에서 아무거나 하나 g를 택하고 J = -g^-1 da 주면 됨.

세 번째 등호는 uniformization.

따라서 Teichmuller space도 다음과 같은 일대일대응이 있음.


T(S(g))

= {complex structures} /isotopy

= {almost complex structures} /isotopy

= {conformal structures} /isotopy

= {hyperbolic metrics} /isotopy.


나는 두 번째나 네 번째로 이해하는 것을 선호함. 계산이 쉬워서.




6. 3차원 이상에서는 어떨까.

3차원 이상으로 uniformization을 확장하는 한 가지 시도는 Yamabe problem임. (지금은 theorem.)


Yamabe problem: Every closed Riemannian manifold has a metric of constant scalar curvature in its conformal class.


또 다른 시도는 Thurston's geometrization임. (지금은 theorem.)


Thurston's geometrization: Every closed smooth 3-manifold can be decomposed into "building blocks" having one of eight geometries.


그 유명한 Thurston의 eight geometries: S^3, R^3, H^3, S^2×R, H^2×R, SL^~(2,R), Nil, Sol.




요약: Uniformization theorem은 쩐다.