무한급수 0.9999... = 1 이 아님을 증명해 볼께


x= 0.9999...

10x=9.9999...

10x-x = 9x = 9.999... - 0.999.. = 9

x = 1 

이라고 여태까지 증명되었는데

무한급수이므로 9.999...-0.999... 가 꼭 9라는 계산이 잘못  되었음


무한이 아니라면 맞는 계산이나 무한에서는 자릿수를 바꾸어도 됨

자릿수 바꾸는 것은 무한에서 얼마든지 가능 한 일임


그래서 다시 계산해 보면

x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000 +... 이고

10x= 90/10 + 90/100+ 90/1000 +... 이고

10x= 9 + 9/10+ 9/100 +... 가 되어


10x= 9 + 9/10+ 9/100 + 9/1000...

-)x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000 +... 가 되는데


이때, 꼭 같은 값을 빼야 하는 당위성 같은 거는 없음

왜냐면 무한이기 때문에 아무쪽이나 빼도 됨

그래서 식을 다시 써서 10x의 첫 자리 빼기 x의 우측 자리 빼기 하면,


10x= 9 + 9/10+ 9/100 + 9/1000 +...

-)x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000 +...


9x = 9-(9/10) + 9/10-(9/100) + 9/100-(9/1000) + ... 가  되고

분모를 맞추면

9x = (90/10)-(9/10) + 90/100-(9/100) + 90/1000-(9/1000)

이 되고 정렬하면,

9x = 81/10 + 81/100 + 81/1000+ ... 

가 됨, 이 식은 81=9*9로 바꿀 수 있으므로

9x = 9*9/10 + 9*9/100 + 9*9/1000+ ... 가 됨

좌우를 9로 약분하면

x = 9/10 + 9/100 + 9/1000+ ... 가 됨

고로 x는 1이 아니라

원래의 0.99999가 나오므로

0.9999... 는 계속 0.9999 이지 결코 1이 아님


10x= 9 + 9/10+ 9/100 + 9/1000 +...

-)x= 0+9/10 + 9/100+ 9/1000 +...

에서 같은 값을 안 빼는 게 모순 같아 보인다고?


그럼

s= 1-1+1-1+1-1+1-1+... 일때

-s = -1+1-1+1-1+1-1+1.. 인데

이 때는 2s=1, s=1/2 가 되었다가


s= 1-1+1-1+1-1+... 일 때

s = (1-1)+(1-1)+(1-1)+... 인데

이 때는 s=0 이 되었다가


또 다음과 같이 묶으면

s= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...

s=1 이 되는데


s 문제에서는 자리를 바꿔도 되고 x에서는 자리를 못 바꾸는 것은 부당하지

따라서, 0.9999... 는 영원히 0.9999 임

내 증명이 틀림?