문제)
양의 정수 a,b에 대하여 ab가 a^2+b^2+1를 나눈다고 하자.
3ab=a^2+b^2+1을 증명하라.

풀이)
a=b라고 가정하자. 그러면 문제의 가정에 의해 a^2은 2a^2+1을 나눈다.
a^2은 2a^2을 나누므로 1=(2a^2+1)-2a^2도 나눠야한다. 다시 말해 a^2은 1을 나눈다.
따라서 a=b=1이고, 문제의 결론을 만족한다.

일반성을 잃지 않고, a>b라 가정하자. 문제의 가정을 만족하는 임의의 a,b에 대하여
k를 다음과 놓자.
k = (a^2+b^2+1)/ab
이를 정리하면,
a^2+b^2+1-kab=0
a^2-(kb)a+(b^2+1)=0
이 된다.

따라서 a는 방정식 x^2-(kb)x+(b^2+1)=0의 근이다.
다른 근을 x_2라 놓으면 근과 계수의 관계에 의해
x_2+a=kb
ax_2=b^2+1

정리하면,
x_2 = kb-a = (b^2+1)/a 이 나온다.
a>b라 가정했으므로 x_2 = (b^2+1)/a < b 임을 확인할 수 있다.
(a,b가 양수이고, kb-a가 정수이므로 x_2는 양의 정수다.)

(a,b) 대신 (b, x_2)를 대입했을 때, 정수 k의 값은 변하지 않는다.
이와 같은 과정을 반복했을 때, 두번째 숫자를 1로 만들 수 있을 것이다.

(a,1)을 k식에 대입하면 k=(a^2+2)/a이고 k는 정수이므로 a는 2를 나눠야한다.
따라서 a는 1이거나 2이다.
a=1인 경우 a=b=1 경우와 같고 문제의 결론을 만족한다.
a=2인 경우 k=3임을 알 수 있고, k는 위 과정에 의해 바뀌지 않으므로
주어진 조건을 만족하는 a,b들은 항상 3ab=a^2+b^2+1을 만족한다.



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이런 건 어떻게 생각하는거냐

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