x^2+y^2+z^2=3xyz
를 Markov equation이라 부른다.

자명하게 (x,y,z)가 해라면 자리만 바꾼 (z,x,y) (y,z,x) (y,x,z) 등도 해가 된다.
이제 다음과 같은 map을 생각하자.
m_1(x,y,z)=(3yz-x,y,z)
m_2(x,y,z)=(x,3zx-y,z)
m_3(x,y,z)=(x,y,3xy-z)


보조정리)
(x,y,z)가 Markov equation의 해라면 m_i(x,y,z)도 Markov equation의 해가 된다.

증명)
대칭성에 의해 m_1(x,y,z)이 해가 됨을 보이면 충분하다.
(3yz-x)^2 + y^2 + z^2 - 3(3yz-x)yz
=x^2 - 3 x y z + y^2 + z^2
=0.
따라서 m_i(x,y,z)도 해가 된다. //


[Remark]
- 놀랍게도 m_i를 두 번 합성한 함수 m_i^2는 identity map이 된다. (다른 말로 involution이라고 부른다.)

- Markov equation에 z=1을 대입하면 이전 글에 작성한 꼴의 방정식이 나오며,
Vieta jumping으로 활용한 식 x_2 = 3b- a = (b^2+1)/a 과 m_i는 같다.

- m_i들을 Markov equation에 대한 mutation(돌연변이?)이라 부른다.

- braid group B_3 action을 줄 수도 있는데,
s_1(x,y,z)=(-x,z,y-xz)
s_2(x,y,z)=(y,x-yz,-z)
으로 놓으면 B_3 relation을 만족한다.


mutation을 활용해 Markov equation의 모든 양의 정수해를 구해낼 수 있다.


정리) (1,1,1)에 m_i를 여러 번 적용하여 Markov equation의 모든 양의 정수해들을 얻을 수 있다.

증명)
(x,y,z)성분의 maximum M에 대하여 귀납법을 사용하자.
M=1일 때는 자명하다.

M>=1일 때 성립한다고 가정하자.
일반성을 잃지 않고 x>=y>=z라 가정하고,
함수 f를 f(t) = t^2-(3yz)t+y^2+z^2로 정의하자.

(y,z)=(1,1)인 경우 Markov equation으로 부터 x^2-3x+2=0이 나오므로 x=1 or 2이다.
x=1인 경우는 제외, x=2인 경우는 m_1(1,1,1)=(2,1,1)이므로 증명이 끝난다.

(y,z)=(1,1)이 아닌 경우, 다시 말해서 y>1 and y>=z인 경우를 가정하자.
보조정리에 의해 f(x)=f(3yz-x)=0이고,
f(y)
=y^2 - 3y^2*z + y^2 + z^2
= 2y^2-3y^2*z + z^2 
= 2y^2(1-z) - z(y^2-z) < 0 이므로
이차함수의 그래프를 떠올려보면 3yz-x < y < x 이 되어야한다.
한편 m_1(x,y,z) 성분의 maximum은 y이고, (x,y,z)의 maximum인 x보다 작으므로 귀납법 가정에 의해
m_1(x,y,z)는 (1,1,1)에 m_i를 여러 번 적용하면 얻을 수 있다.
m_1이 involution이므로 m_1(x,y,z)에 m_1을 적용하면
(x,y,z)가 (1,1,1)에 m_i를 여러 번 적용한 결과라는 것을 알 수 있다. // 


대충 요약하면,
Markov equation에는 무언가 대칭성이 많다는 것을 알 수 있다.