(coset, quotient group G/N, G는 group N은 normal subgroup의 정의는 안다고 가정)

quotient group을 equivalence classes로 바라보는 것은 정말 중요한 시점이에요(학부대수에서는 아닐지도 모르지만 대수위상,sheaf theory를 시작하면 정말 중요해져요). equivalence relation을 정의해봅시다. For a,b(elements of G), say a~b if a^{-1}b is a element of N. [inverse가 존재하니깐 reflexive는 자명, (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a로 인하여 symmetric도 자명,  a^{-1}c=a^{-1}bb^{-1}c로 인하여 transitive도 자명] The equivalence class of an element g(element of G) under this relation is the set { x(element of G) | x~g i.e. x^{-1}g is a element of N}. Rewriting x^{-1}g=n for some n(element of N), then x=gn for some n. So the equivalence class is { gn | n } = gN, the left coset of N.

Since N is normal, this equivalence relation is compatible with the group structure, allowing the set of all such equivalence classes(cosets) G/N to form a group under the operation (gN)(hN)=(gh)N. 이것을 생각하면 f: G -> H가 있을 때 G/kerF \cong ImF가 무엇을 의미하는지 알 수 있어요.

나중에 cup product combines cohomology classes가 cohomology에 ring structure를 준다는 것이라던지 등으로도 정말 자주 쓰이는 시점이니 수잘갤럼은 잘 기억해두시귀