수학글 존나 귀찮은데 일단 하나 써봄 저번에 댓글에서 잠시 말했던걸 이어서 말해보겠음(다이어그램이 여러개 필요한 글을 디시에서 하기엔 너무 귀찮으니(꼬우면 유동새끼가 직접해라 씨발련아 ㅋㅋ) latex 코드 좀 쓸건데 그건 알아서 알아보셈 latex 코드 쓰지말고 카테고리 운운 글쓰라고 하면 걍 억지니깐 목조르겠음


우선 말해야 하는 사실은 고전적인 K-theory들은 'small' stable infinity category에서 아름답게 작동함. 근데 이새끼를 large로 확장(한국어 맥락에서 어울리는지는 모르겠지만 일단 한국어써봄) 하면 아름답지 않아짐. 예를들어 stable infinity category가 countable coproducts (think infinite direct sums)를 갖고 있다고 생각해보셈 (정말 당연하지만)그것의 K-theory spectrum은 contractible (meaning all its K-groups vanish to zero) 되어림.(Eilenberg swindle로 인하여) 이 vanishing들이 K-theory를 bigger structure에서의 연구를 별 가치 없게 만들어버림. 그럼 인류는 이렇게 그냥 연구를 접어버리냐? 그건 인류가 아니지 ㅋㅋ 이런 맥락에서 등장하는게 Efimov의 연구임.


자 이제 Efimov K-theory를 소개하기 기본적인 세팅,배경지식들을 다루겠음 걍 대충 nlab처럼 나열해봄(정말 간단 요약이니 자세한건 Efimov의 페이퍼를 보셈)


1. presentable stable infinity categories combine stability with this largeness. They’re often constructed as presheaf categories or localizations thereof.


2. dualizable categories are retracts of compactly generated categories

3. for a small stable infinity category  A, its ind-completion Ind(A) is a compactly generated category containing A as its compact objects.


4. Given a small stable Karoubi complete category A, The Calkin category is Calk(A) = (Ind(A)/A)^{Kar}.


note that: K(A) \cong \ohmK(Calk(A)), where \ohm is the loop functor.
note that: Let C be a dualizable category. C is \omgea_1 -compactly generated [ [Efimov1] corollary1.21] . The image of the functor y: C -> to Ind(C) is contained in the full subcategory Ind(C^{\omega_1}). [ [Efimov1] corollary1.22 ]

이제 Efimov K-theory를 소개해봄. dualizable category C에 대하여 Efimov는 continuous calkin category를 정의함.  알아야 하는 사실은 위에 노트들에 따라서 there's a left adjoint y to the colimit functor Ind(C) -> C. Continuous calkin category is Calk^{cont}(C) = (Ind(C)/y(C))^{\omega} where \omega takes the compact objects. Then 위에 노트에 따라서 continous K-theory 는 K^{cont}(C) := \ohmK(Calk^{cont}(C))라고 정의 할 수 있음. 아래 노트는 관심 있으면 자세히 읽고 아니면 걍 다음 문단으로 넘기셈 어차피 대부분 결론만 관심 있을테니


Note that: invariant F: Cat^{perf} -> \mathcal{E} (where Cat^{perf} is small idempotent-complete stable infinity categories) extends to F^{cont}: Cat_st^{dual} -> \mathcal{E}, with F^{cont} \circ Ind \cong F, and is given by F^{cont}(C) = F(Calk^{cont}(C)) . (Cat_st^{dual}의 정의는 [ [Efimov1] [definition 1.1.5] ] 이게 정말 중요한 포인트임 정말 nice한 large 카테고리임) This universality makes continuous K-theory a canonical solution.

위에 노트에 따라서 Efimov는 any localizing invariant of small stable infinity categories가 dualizable categories로 uniquely extended 될 수 있다는 것을 보인거임 ! 이렇게 Efimov는 higher category의 새로운 길을 열었고, 앞으로 이것들이 어캐 더 사용되고 또는 발전될 수 있을지는 지켜봐야함

중요한 sheaves 예시들도 있는데 그건 귀찮 ㅋ 여기까지만 쓰겠음 읽어줘서 감사

레퍼:  Efimov: K-THEORY AND LOCALIZING INVARIANTS OF LARGE CATEGORIES

마지막 오타수정 오후 4시 38분. 이 시간 이전에 글을 핀 사람들은 새로고침 하시귀