e와 pi는 무관해 보이는데도 오일러 등식 e^(i pi)+1=0 에서 연관된다.
직관적인 이유를 알아보자.


1. 복소수 지수를 거듭제곱급수로 정의할 경우

e^z, cos z, sin z 를 거듭제곱급수로 정의하면 e^(ix) = cos x + i sin x 까지는 (수렴반경과 급수 재배열에 익숙하다면) 자명하다.
이 식에 단위원 둘레 길이의 절반인 pi를 대입하면 오일러 등식을 쉽게 얻을 수 있을 것 같지만,
cos z, sin z 를 거듭제곱급수로 정의하였기 때문에 cos pi = -1, sin pi = 0 이라는 사실이 자명하지 않다.

cos pi = -1, sin pi = 0 이라는 사실이 오일러 등식에서 신기한 부분이다.

이것이 왜 되는지 생각해 보자.
이번에는 고등학교 방식으로 단위원을 이용하여 cos x, sin x 를 정의하자.
그렇게 정의하면 cos pi = -1, sin pi = 0 은 자명하다.
그리고 cos x, sin x 의 도함수는 특정 패턴을 보인다 (직관적 이유는 다음 문단에).
이 패턴 때문에 cos, sin 을 거듭제곱급수로 정의하든 단위원을 이용하여 정의하든 실수에서는 일치하게 된다.
따라서 거듭제곱급수를 이용하여 정의하여도 cos pi = -1, sin pi = 0 이다.

단위원을 이용하여 정의한 cos x, sin x 의 도함수가 특정 패턴 ((cos x)' = - sin x, (sin x)' = cos x) 을 보이는 이유로는 아래 설명이 괜찮은 것 같다.
시각 x에서 위치가 (cos x, sin x) 가 되도록 운동하는 점을 떠올리자.
시각 x에서 이 점은 반지름에 수직인 방향으로 운동하므로 속도가 (- sin x, cos x) 방향이다.
점이 시간 x당 호 x만큼 이동하므로 점의 속력은 1이다.
따라서 점의 속도는 정확히 (- sin x, cos x) 이다.
따라서 (cos x)' = - sin x, (sin x)' = cos x 가 된다.



2. 복소수 지수를 e^(x+iy) = e^x (cos y + i sin y) 로 정의할 경우

복소수 지수를 e^(x+iy) = e^x (cos y + i sin y) (e^x, cos y, sin y 는 고등학교 방식으로 정의) 로 정의하면 오일러 등식 e^(i pi) + 1 = 0 은 자명하다.

그러면 여기서 따져봐야 할 점은 복소수 지수를 왜 하필 그렇게 정의하는지이다.
실수 집합에서 정의된 e^x 을 복소수 집합에서 정의된 정칙(holomorphic)함수로 확장하는 방법은 최대 1가지이다.
e^(x+iy) = e^x (cos y + i sin y) 로 정의하면 코시-리만 방정식이 성립하기 때문에 정칙함수가 맞고 따라서 이것이 가장 적절한 정의라 할 수 있다.

코시-리만 방정식이 성립하는 이유는 (cos y)' = - sin y, (sin y)' = cos y 이기 때문이다.
이 미분 공식이 성립하는 직관적 이유는 앞에서 봤듯이 등속 원운동의 성질 때문이다.





요약
1. 원의 접선이 반지름에 수직이라는 점
2. 에 의하여 (cos x)' = - sin x, (sin x)' = cos x
3. 에 의하여 e^(i pi) + 1 = 0

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