그냥 주워들은 것 가지고 얘기하는 거라서 틀린게 많을텐데.. 지적해주면 감사하겠음
대수기하에서 코호몰로지 이론들이 정말 많은데, 그 이유가 base field가 바뀔 때마다 거기에 맞는(잘 작동하는) 코호몰로지 이론을 사용해야 하기 때문임
그런데 코호몰로지가 너무 많으니까 이것들을 한번에 다룰 수 있는(?) 코호몰로지 이론을 떠올리게 되고, 이것이 motivic cohomology라는 거
p-adic geometry의 다양한 코호몰로지를 Scholze가 prismatic cohomology로 통합했는데, 적당한 prism을 넣어서 p-adic geometry의 여러 코호몰로지 이론을 얻어내는 거랑 비슷하게 motivic cohomolgy를 적절하게 설정(?)하면 원하는 코호몰로지 이론을 얻어낼 수 있다고 보면 되나?
갠적으로 motive와 motivic cohomology가 어떤 관련인지 잘 모르겠음.. variety마다 그에 맞는 motive를 대응시킬 수 있는 것 같던데 그 motive에 대한 코호몰로지 이론이 motivic cohmology인가? 그런데 motivic cohomology는 higher chow group으로 정의가 된 것 같은데, 그러면 motivic cohomology는 이것으로 어느 정도 완성된 거고 남은 과제는 (pure)motive를 정의하는 건가?
이것을 하려면 standard conjectures가 증명돼야 하는데 그게 어려우니까 우회하는 방법으로 voevodsky가 mixed motive를 정의한 거고
+ 기존의 Hodge theory가 complex smooth manifold에서 다뤄지던 거였다면 이걸 미분구조 없이도 쓸 수 있도록 추상화해서 mixed hodge theory를 만들고, 이게 motive랑 연결되는 건가?
물론 이런 질문들에 대한 답은 나중에 공부하다 보면 알게 되겠지만, 코호몰로지랑 motive등에 대한 map(?)을 미리 가져보고 싶어서 내 멋대로 생각하고 있는 걸 써봤는데 틀린부분이랑 보충할부분 등 있으면 알려줘
수알못이라 여기 있는것들 중 공부해본 게 하나도 없어서 rough하게밖에 얘기 못해서 죄송...
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전부터 조금 관심있긴 했는데 제대로 물들어버린듯한.. 근데 주워들은 게 많은거지 재능충은 절대 아님
나 미카게이랑 연락 안한지 오래임 ㅋㅋ
제자 너가 갑자기 연락 끊어서 이렇게 디시로 물어보고 있잖음;; 본인은 나중에 또 연락하자고 말해놓고서...
옾챗 터뜨렸오.. 미안해
1. mixed motive는 beilinson이 deligne의 mixed hodge structures, perverse sheaves를 기반으로 pure motive를 확장하며 정의되었음 그리고 님이 말하는 voevodsky가 정의한 mixed motives는 간단하게 말하자면 triangulated categories of mixed motives임
1번은 엄밀하지는 않지만 대략적으로 수식 없이 설명이 가능했음 근데 아무리 고민을 해봐도 2번부터는 수식 없는 설명이 아에 불가능함 ;; 2. mixed hodge structure를 설명하기 위해서는 hodge filtration을 먼저 설명해야하는데.. nlab에 나와있는 설명이 만족스럽지 않다면 책을 피는게 최선이라고 생각함 peters의 책이 은근히 self-contained가 잘 되어 있으니 한번 봐보셈 3.motivic hodge characteristic를 검색해보셈(아마 뭔소리인지 모르겠지만) 님이 원하는 motive와 mixed hodge structure의 연결이 이거라고 생각함
4. 님이 말하는 ‘적절하게 설정(?)’이 구체적으로 무슨 뜻인지 모르겠음 ‘아마도’ 님은 지금 motivic cohomology와 universal cohomology의 의의를 제대로 받아드리지 못했다고 생각함
3번 참고자료
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~peters/Books/motivic.f/Tatalects.pdf
2, 3 - 이제 보니 내가 mixed hodge sturcture로 알고있던게 사실 pure hodge structure이었노 착각 한번 거하게 했네... 이부분은 peters등등 공부해보겠음(어짜피 이해는 못하겠지만)
4. 내가 생각해도 그런듯 지금 내 머릿속에서 이런저런 것들이 뒤엉켜있어서 정리가 안됨.. 그럼 너가 생각하는 motivic cohomology, universal cohomology 의의 간단히 알려줄 수 있음? 내가 이해한 거는 variety에 대응되는 motive를 가지고 cohomology를 만들 수 있는데 이게 motivic cohomology(=higher chow group)이고, standard conjecture들은 motive가 가지는 성질에 대한 추측들이라는 건데, motivic cohomology가 다른 cohomology theory들을 포함하는 게 맞다면 어떤 방식으로 포함한다는 건지, 그렇다면 이게 universal cohomology랑 어떻게 다른 건지 궁금함
이것저것 뒤엉키는 이유는 님이 모티브를 공부하고 나서 ‘내가 이해한~~’ 이 문단을 다시 본다면 알 수 있지 않을까.. 싶어요 AT와 harshorne ch.2를 모르는 사람에게 motivic cohomology를 설명하라는건 미적분학을 모르는 고등학교 1학년에게 de Rham cohomology를 설명하라는 것과 비슷한 느낌이에요
motivic cohomology(=higher chow group)이라고 말했는데 higher chow group이 뭔지 아시나요? 아마 algebraic cycle가 뭔지도 모를텐데요? 그럼 higher chow group과 그 이후의 voevodsky의 정의를 배울 이유가 있을까요? 즉 motivic cohomology라고 말하는 것과 motivic cohomology(=higher chow group)라고 말하는데 있어서 본인에게 어떤 의미적 차이가 있는지 묻고 싶어요
푸엥카레의 추측 같은거는 대략적으로 map을 먼저 그리고 공부를 할 수 있지만, motive는 그렇지 않아요 그리고 그래서는 안된다고 생각합니다 제가 무슨 말을 하는지 대충 이해했길 바랍니다
그리고 peters는 voisin 1,2를 봤다면 바로 보는게 가능합니다 peters 이후에 무언가를 더 공부하고 싶다면 그것은 1980년 이후의 몇몇 논문들이 될거에요 ( 이쪽 분야가 어지간하게 발전이 없어서 ㅋㅋ ) 그러니 침착하게 공부하시다 보면 금방 리서치 레벨에 도달 하실 수 있을거임 ㅇㅇ
Cycle은 free abelian group of subvariety의 원소이고 cycle에 대해 homotopy equivalence랑 비슷한 거(rational equivalence)를 생각할 수 있는데 이거로 quotient해준게 chow group, 그리고 이걸 1차 homotopy group으로 간주하고 더 높은 차수위 homotopy group을 생각한 것이 higher chow group이라고 알고 있는데, 이정도로 rough하게 알고있던 하찮은 지식으로 비벼보려고 한것부터 무리였나 보네.. 가서 대수 공부하던 거나 이어서 할게 ㅋㅋㅋ
이제보니 내가 혼동하던 게 nalb에 좀 적혀있네. 얘내들 차이랑 관련성을 확실하게 하려면 나중에 모티브를 제대로 공부하다 보면 감이 잡히겠지.. 약간 억지 질문이었는데 답변해줘서 고마워
보ㅈㅈ는 이론이나 대상이나 구체적으로 쓴적은 없고 항상 사람이름 책이름 플로차트 3개에 대해서만 글쓰네 미카는 자기 머릿속에 있는거 구체적으로 쓰는데
그럼 햣숀도 안본 애를 상대로 어캐 설명할까? voevodsky의 정의를 설명하기 위해서는 triangulated category를 먼저 설명해야겠지? 근데 이건 어디서부터 설명을 해줘야 하지? 그냥 motivic cohomology의 정의만 띡 던질까? 스킴 S와 Z2에서의 정수쌍 (n,m)이 있을 때 degree n and twist m with coefficient in Λ인 S의 motivic cohomology, Λ-module M Hn,m(S,Λ)는 HomDM(S,Λ)(1S,1S(m)[n])임 근데 이식만 띡 던지면 그냥 ‘이런게 있다 도르’가 되겠지?
그럼 다시 돌아와서 어디서부터 설명해야 할까.. 일단 이 사실을 말해야겠지? S=Spec(k)가 spectrum of perfect field라고 하자 그러면 카테고리 DMgm(S,Λ)이랑 DMeffgm(S,Λ)이 일치함 그리고 여기서 effective motivic cohomology의 정의를 설명하고 motivic cohomology와의 관계를 설명해야 voevodsky 정의를 설명 할 수 있음 근데 아마 위에서 말한 ‘사실’도 이해하지 못하겠지? 그럼 또 다시 돌아와서 나는 어디서부터 설명해야할지 감이 안잡힘 내가 설명 능력이 부족한걸까?
+ voevodsky 정의를 배운다면 첫 댓글에 적힌 정의가 아름답게 계산이 되는걸 볼 수 있음
‘이새끼는 설명 능력이 부족하고 수식 없이는 아무것도 말하지 못하는 개병신이구나’라고 생각한다면 꼽지말고 니가 니 손가락으로 니 대가리 속에 있는 배경지식들을 구체적으로 설명하면 되는거임