R^n 벡터 공간에 norm 연산을 준다는 것은 (positiveness, triangle inequality, definite homogeneity) 세 개의 공리을 만족하는 연산을 준다는 말이다. 

inner product 연산을 준다는 것은 (symmetry, bilinearity, positiveness) 세 개의 공리을 만족하는 연산을 준다는 말이다. 

모든 inner product는 (<x,x>)^1/2=|x|라고 norm을 정의하면, 공리 세개를 만족하는 norm을 만들어낼 수 있다.

역으로 "선형적인" norm들은 (|x+y|^2-|x-y|^2)/4=<x,y>라고 innerproduct를 정의하면, 공리 세개를 만족하는 innerproduct를 만들어낼 수 있지만,

어떤 "비선형적인" norm들은 위처럼 innerproduct를 정의하면, 그 innerproduct는 공리를 만족하지 못한다.

그 이유는 norm 공리 중, triangle inequality에서 등호는 선형적 성질을 내포하지만 보장하지 못하기 때문이다-(솔직히 잘 이해 안됨)


마지막으로 위 두 공식으로 연결된 norm-inner product 쌍은 코시 슈바르츠 부등식을 만족한다.

innerproduct가 주어지는 것이 norm이 주어지는 것보다 더 강력한 조건이다.