걍 주절주절

direct product는 처음 배울때도 당연했는데 모듈의 텐서곱은 배운지 거의 1년되가지만 뭔가 와닿지가 않았음

처음엔 이게 왜 중요한지도 잘 이해가 안됐지만 hom이랑 adjunction, 정의에서의 bilinear map이 R-module M이 R이 acting하는거에서 자명하게 나오는거 등등을 생각해봄

아무튼 와닿지 않았던 구체적인 이유를 말해보자면 set-theoretic하게 봤을때 element들이 명확하지 않아서? 내가 써놓은 element가 0인지도 자명하게 확인이 안됨

그렇게 고민을 하다가 이 방향으로 생각해본 것은 vector space간의 tensor는 꽤 직관적이라고 생각했음 ai공부 잠깐 하기도해서

그럼 대수적으로 일반적인 module에서 잘 정의되진 않지만, vague하게 모듈을 rank나 length 또는 minimal set of generator / 그리고 torsion part로 나눠서 생각해본다면 tensor product가 앞의 부분에서 작용하는 직관은 vector space에서 따오고, 뒤의 부분은 z/nz같은 예시로 어느정도 받아들임

근데 대수기하를 공부하면서 이제 module이 아니라 ring으로 생각해보면 뭔가 direct product보단 tensor가 두 ring간의 이항연산으로써 더 좋다?자연스럽다?는 생각이 들음. 기하적으로 direct product는 두개로 disconnected된 공간을 만드니까, 뭔가 곱이라는 연산이 주는 느낌은 아니었음 이걸 알고 보니까 대수적으로도 뭔가 더 엮여있는? 구조를 만드는 tensor product가 자연스럽지 않나라는 생각도 듬

당연히 실제로 텐서가 scheme들의 (fiber) product이지만, 이게 굉장히 근본적인 연산인데도 affine scheme들의 fiber product가 ring간의 뭐냐? 라고 물었을때 이게 내가 기억을 잃는다면 지금도 직관적으로 tensor product라고 대답할 수 있을진 모르겠음

또 이번 방학때 공부하면서 line bundle의 group의 operation인걸 알았는데, 특히 핫숀 II.7.9 증명을 읽으면서 그 두 line bundle의 twisting이 전파되는 그런 느낌을 좀 받음 뭐 사실 이건 module간엔 local하게 R 텐서 R이긴하지만

그래서 이렇게 여러가지로 tensor product를 만났는데 어떻게 생각하는게 가장 본질적인 이해인지 계속 고민됨 카테고리를 제대로 공부한적 없는데 categorical한 사고를 하면 좀 도움되려나? 물론 더 general한 이론이 더 좋은 이해에 도움을 준다는게 여전히 신기하긴 하지만


아무의견이나 ㄳ