우선 제일 불완전성 정리를 '자연수 체계를 포함하는 무모순인 공리계는 참이지만 증명 불가능한 명제가 항상 존재한다'로 설명한다고 깔고가겠음

수학에서 참인 명제란 무엇인가? 어떤 예시를 가져와도 참인 것, 다시 말하면 어떤 경우에도 부정되지 않는 것이라 생각하면 되겠지. 뒤의 방식으로 이해하면 편한게 공허한 참(vacuous truth)도 자연스럽게 이해됨. 피타고라스의 정리가 참이다는 이를 위반하는 직각삼각형이 존재하지 않는다로 이해될 수 있음


그럼 증명이란 무엇인가? 우선 증명없이 항상 참이라 생각되는 명제, 공리가 존재하고 이를 모은 공리계가 존재함. 예를 들어 페아노 공리계는 자연수를 정의하는데 1은 자연수이다, n이 자연수면 n+1도 자연수다 등등 존나 당연한 놈들로 되어있음. 너무 당연하기에(...혹은 그래야하기에) 공리임.

그리고 한 명제의 증명은 그 명제를 참인 명제들, 그리고 결국은 공리들로 모두 쪼개버려서 환원해버린다고 생각하면 됨.

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예를 들면 피타고라스의 정리의 증명은 기하학적 공리 + 산술적 공리로 우리가 아는 그 식을 분해하는 과정이라 생각하면 됨. 평행이동, 회전을 해도 넓이는 같다, 직사각형의 넓이는 밑변 x 높이다, 교환법칙, 결합법칙등으로 모두 쪼개버리고 이들 각각이 참이기에 이를 합한것도 참이다라는 결론임.

다른 더 간단한 예시로는 3단논법이 있음. '사람은 죽는다'와 '소크라테스은 사람이다'는 증명이 필요없는(혹은 증명된) 참인 명제고, 따라서 이 둘을 같이 쓰면 나오는 결론인 '소크라테스는 죽는다' 역시 참임. 앞의 두 명제가 참임을 인정한 상황에서 우린 새로운 명제를 증명한거임


그래서 사실 수학을 할때는 모두 가정하는 공리계가 있고 그 공리계가 정해졌다면 그 공리계로 증명 가능한 명제는 완전히 정해짐.
이런 관점에선 수학은 결국 무모순인 공리계를 정하고 그 공리들로 일종의 퍼즐놀이를 하는 것과 같음(형식 주의, formalism). 동시에 모든 참인 명제는 공리를 반복하는 것과 같으니, 동어반복이라고 볼 수도 있겠음

다만 문제는 모순이 생기면 귀류법에 의해 무의미한 공리계만 되기 때문에 무모순인 공리계를 잡아야겠고 스스로의 무모순성을 증명하는게 중요하겠음. 더 나아가 모든 명제의 참거짓을 그 공리계로 증명할 수 있다면 모든 명제의 참거짓을 '우린 알아야만 하고, 우린 알게될 것'임.


그리고 괴델의 불완전성 정리는 이런 낙관적 관점을 박살내버렸음. 어떤 공리계가 자연수를 포함하는(즉 수학이라 부를만한 꼬라지를 갖춘다면), 참인(부정되지 않는) 그러나 증명할 수 없는 명제가 존재함을 증명함.
이런 명제는 공리들을 어떻게 조합하든간에 만들어 낼 수 없고, 배중률을 생각하면 이 명제의 부정 역시 증명할 수 없음. 이를 공리계와 독립인 명제이라고 얘기하고, 이게 제일 불완전성 정리임.


더욱 좆같은 건 무모순인 공리계를 잡았더라도, 우린 그 공리계만으로는 그 사실을 알 방법이 없음. 결국 공리계를 잡을 때 우린 직관과 경험으로 이걸 참이라 믿고서 진행해야하고, 동시에 우리가 사용하는 모든 공리계는 자기모순을 초래할 가능성이 있음.
단지 그 가능성을 신경쓰지 않는 이유는 지금 쓰는 공리계가 너무 자명하거나, 일종의 수학적 실체를 표현하기 때문(platonism)일 것임

독립인 명제의 쉬운 예시를 들어달란 요청을 받긴 했는데, 사실 이 가능성부터가 보다시피 비직관적이고, 그 예시는 훨씬 더 비직관적임...
오죽하면 수학자들도 연속체 가설의 독립성 증명 전까지 저거랑 엮일만한 명제가 중요하면 얼마나 중요하겠냐 ㅋㅋ 이랬고 사실 지금도 대부분은 신경 안씀... 쓸 이유도 없고. 그래도 예시를 들까.


가장 널리쓰이는 공리계는 ZFC 공리계인데, ZF 공리계에 후에 독립임이 증명된 선택 공리(Axiom of Choice,AOC)를 추가한 거임.
이 ZF 공리계는 공집합이 존재한다, 합집합이 존재한다, 등등에서 시작해서 여러 놀이를 하면서 자연수들을 집합으로 정의하면서 놈. 그러다 어느순간 '자연수 집합이 존재한다'는 공리를 사용하게 됨.

왜? 모든 자연수를 만들어 낼 수 있는데 어째서 이런 공리가 필요하지? 하지만 모든 자연수를 이 공리 없이 만들어 낼 수 있다는 것과 그 자연수들을 모은 집합이 존재한다는 별개의 문제고 증명할 수 없기 때문에 공리로 받아들일 수 밖에 없음.


앞에서 말한 선택공리는 더 골때림. 선택공리는 공집합이 아닌 집합들이 있으면, 얘들의 곱집합도 공집합이 아니라는 내용임. 시발 그걸 말이라고 하냐? 실제로 유한곱일때는 ZF로 증명할 수 있음. 근데 무한히 많은 집합일때는 증명할 수 없음.
그리고 이 당연한 놈을 가정하면 어떻게 되냐? 그러면 우린 구를 복제할 수가 있음. (어디까지나 물리적이 아닌 수학적인)구 하나를 유한하게 쪼갠후 평행 및 회전운동한다음 합치면, 구 두개가 나온대. 이걸 바나흐 타르스키 역설이라 함. 선택공리만 있으면 너도  수학적 오병이어의 기적을 일으킬 수 있음 있음.
이런 독립성과 역설 때문에 ZFC를 인정안하는 변태적인 수학자도 존재함. 물론 그가 다른 사람보다 옳거나 틀리다는 증명된 적 없음.


마지막으로 연속체 가설임. ZFC(아마도 ZF만으로도)에서 우린 실수의 집합과 자연수 집합이 일대일대응이 될 수 없음을 증명할 수 있고 포함관계까지 포함하면 실수의 '크기'가 더 '크다'고 할 수 있음. 그럼 문제는 이 두 집합의 크기 사이에 있는 놈이 있느냐?
이게 연속체 가설이었고 힐베르트의 문제 1번이었음. 그리고 앞에서 소개했듯 이는 ZFC와는 독립임. ZFC에 이런 놈이 없다는 공리를 껴도 좋고, 있다고 껴도 좋다는 거. 당시 수학계에서 거성인 힐베르트가 1번으로 뽑은 문제가 이꼬라지가 나버린거.


수학사나 수리논리 전공도 아니고 깊게 판것도 아니지만, 그래도 대체적으로 맞게 썼다 생각함. 지적 환영함