아무리 봐도 너무 어렵게 쓰는 거 같아서...


글은 데이비드 포스터 월리스의 한 책을 반박하는 글이야.

그냥 재미로 읽기 좋겠지, 싶어서 글쓰기를 시작했는데,

이거 아무리 봐도 이상한 데로 흘러가는 거 같아...



니네 이 글 읽어줄 수 있어? 이거 얼마나 어려운 거 같아?

이것보다 더 어려운 파트도 있어.







측도론은 무한을 도입한 이후 생긴 이론이야.

현대수학에서 실무한을 엄밀하게 정리한 이후 그 무한을 어떻게 수학과 맞출 것인지를 정리해둔 것이야.

그런 만큼 직관과 전혀 맞지 않는 무한 관련 패러독스가 존재하는데, 그거를 설명하고자 해.


측도론에서 측도는 아주 거칠게 말해 길이, 혹은 확률이라고 생각하면 돼.



“반지름이 10cm인 원 모양의 다트판이 있어. 위치에 상관없이 맞출 확률이 같다고 할 때, 내가 여기서 다트를 던졌을 때 그 다트가 정중앙을 맞출 확률은 몇일까?”


이 문제의 답이 뭐인거 같아?

일단 0은 아닌 거 같아. 정중앙을 맞출 경우의 수는 분명 있으니까.

하지만 양수 중에서 그 어떤 양수도 이 확률을 제시할 순 없을 거 같아. 어떤 양수를 제시하던지간에, 그보다 더 작은 확률인 거 같거든.


정답은 0이야.

확률이 있는데 왜 0이냐고 말하겠지. 근데 0% 맞아.

0.0001%가 아니고 0% 맞아.


이 이상한 일을 조금만 더 이해할 수 있게 예시를 들어볼게.


수직선에 컴퍼스를 써서, 컴퍼스의 길이가 cos20˚가 될 확률은 얼마나 될까?

확률이 있기는 있으니 0은 아닌 거 같아.

하지만 그렇다고 하니까, 확률이 양수라고 하자. 8000만분의 1 같은.

만약 이렇게 말한다면 8000만번의 시행을 전부 해서 cos20˚가 되는 것에서부터 시작할 수 있게 돼.

작도를 시작할 수 있다는 거야.

그런데 원래 수학에선 “삼대 작도 불능 문제”라고 cos20˚를 작도할 수 없다는 증명이 이미 있어.

따라서 이렇게 부르트포스식 작도는 불가능하다는 거지.

그래서 8000만분의 1이라는 값은 틀렸고, 그에 따라서 모든 양수의 경우에 대해서도 아니라는 걸 알 수 있어.


이제 그래서 확률이 0인 걸 조금 받아들일 수 있겠어?

못 받아들이겠어도 뭐 괜찮아. 어려울 거 같긴 하다.


이것을 measure 0라고 칭해.

확률이 진짜 있는데, 확률을 0%라고 칭하는 게 진짜로 있어.

진짜로, 0%라고 적혀 있을 때 확률이 있을 수 있다는 거야.

그래서 이런 농담도 할 수 있어.


친구 : 그 여자가 너랑 사귈 리가 없어! 니 얼굴을 보고 생각을 좀 해라!

나 : 그래도 사귈 수는 있는 거지?

친구 : 아냐… 그 여자가 널 거절할 확률은 99.9%야!

나 : 그래서 사귈 수 있다는 거지?

친구 : 아냐… 99.9%도 아냐! 그 여자가 널 거절할 확률은 100%야!

나 : 그래서 사귈 수 있다는 거지?

친구 : ?????????


(재미없어서 죄송...)