[신간📰] 데이비드 포스터 월리스 비판 (미완성. 포기. 70%)

[말테의수기(artistrainer)]

나 요즘에 너무 힘듬. 몸무게가 8kg가 줄어들었음.

이 글을 도저히 못 쓰겠다. 미완성이다.

70-80% 정도 한 거 같다.

1.1. 이 글을 쓰는 이유 

[내가 DFW에 빠졌던 때가 있었다]

[어느날 그가 수학으로 에세이를 썼다는 것을 알게 되었다]

[이름은 Everything and more이다]

[당장 이것을 사자고, 그리고 앞으로 이 책의 구조를 그대로 따라서 글을 쓰자고 결심했다]

[그런데 처음 읽었을 때 좀 뭔가 이상했다]

[알고보니 이 책은 DFW의 가장 졸작으로 평가받고 있었다]

[오류도 있었고, 무엇보다 DFW 특유의 문체가 전혀 들어가지 않은 채 지루했다]

[많은 사람들이 비판을 했고, 나는 시간이 남아돌기 때문에 그 비판을 설명하고자 한다]

[이 책은 무한을 다루고 있고, 그래서 제논의 역설도 다루고 있다]

[제논의 역설의 해결법으로 크게 칸토어의 해결법과 아리스토텔레스의 해결법이 있다]

[이 책은 아리스토텔레스를 직접적으로 비판하진 않지만, 책 전체의 흐름이 아리스토텔레스의 제논 해석이 잘못되었다고 보고 있다]

1.2. 그 전에 역설이 정확히 뭐지

일단 접근하기 전에 역설이 정확히 뭔지 알려줄게.

번역은 "소크라테스 이전 철학자들의 단편 선집"의 것을 따왔어.

“첫번째는, 움직이는 것은 그 목적지에 도달하기에 앞서 먼저 그 중간에 도달해야만 하기 때문에 운동하지 않는다고 하는 것에 관한 논변이다.”

첫번째 역설은 이분법의 역설이라 불려. 제논은 시작점 A에서 목적지 B로 이동하는 것이 불가능하다고 말해. 왜냐하면 A로부터 B에 도달하기 위해서는 선분 AB의 중점 C를 통과해야 하고, 또 선분 AC의 중점 D를 통과해야 하고, 이렇게 무한개의 중점을 통과해야 하는데 그것은 무한한 시간이 걸리는 일이므로 불가능하다는 거야.

이것은 반대의 방향으로도 잘 알려져 있어. 선분 AB의 중점 C를 통과해야 하고, 또 선분 BC의 중점 D를 통과해야 하고, 이렇게 무한개의 중점을 통과해야 한다는 역설로도 알려져 있어.

“두번째는 이른바 아킬레우스의 역설이다. 달리기 할 때에 가장 느린 자는 가장 빠른 자에 의하여 결코 따라잡히지 않을 것이다. 왜냐하면 그(따라잡기) 전에 쫓는 자는 달아나는 자가 출발했던 곳에 도착해야 하고, 그래서 더 느린 자가 항상 약간이라도 앞서 있을 수밖에 없기 때문이다.”

두번째 역설은 아킬레스와 거북이의 역설이야. 아킬레스는 조금이라도 먼저 출발한 거북이를 따라잡을 수 없다고 말하고 있어. 왜냐하면 아킬레스가 거북이의 위치에 닿았을 때, 거북이는 조금이나마 앞으로 나가 있을 것이고, 이러한 과정이 무한히 반복되기 때문에 불가능하다는 거야.

(테미스티오스라는 주석가가 이 아리스토텔레스의 자연학의 이 부분에 “가장 느린 자” 대신 “거북이”로 바꿔서 주석을 달았는데, 이 이후부터 아킬레스와 거북이란 말로 남게 되었어.)

“세번째는, 움직이는 화살이 정지해 있다는 것이다. 이것은 시간이 ‘지금들’로 이루어져 있다고 가정하는 데서 나온다.”

세번째 역설은 화살의 역설이야. 시간은 최소의 단위인 ‘순간’으로 구성되어 있다고 제논은 말해. 이제 쏜 화살은 움직이거나 멈춰 있어야 하는데, 만일 화살이 움직인다면 순간은 적어도 어느 순간의 시작점이라는 부분과 끝점이라는 부분이 있어야 해. 하지만 이것은 최소의 단위인 ‘순간’을 분할할 수 있다는 얘기로 모순이 되므로 화살은 정지해 있어야만 한다는 거야. 날아가는 화살은 각 순간마다 정지해 있고, 정지로 이루어졌으므로 운동은 없다는 것이야.

2. 무한의 실제성에 대한 논쟁

2.1. 아리스토텔레스가 내놓은 답들

아리스토텔레스는 첫번째와 두번째 제논의 역설을 이런 방식으로 해결하려 했어.

“무한 중에서는 가무한과 실무한이 있는데, 실무한이란 것은 세상에 존재하지 않으며 오직 가무한만이 존재하고, 제논의 역설들은 가무한인 것을 실무한으로 착각했기 때문에 생겼다.”

이분법의 역설이나 아킬레스의 역설에 대해서 가무한을 실무한으로 착각했다는 거야.

가무한과 실무한이라는 게 무엇이냐.

2.2. 가무한과 실무한

“어떤 수를 제시했을 때, 그보다 더 큰 수를 제시할 수 있다”면 그 수는 무한일까?

무한이라 생각할 수 있지만, 가무한이라는 개념이 이것을 한번 더 생각하게 만들어.

단지 원소들이 추가될 뿐 무한해지지는 않는 경우를 가무한이라고 말해. 예를 들어 자연수로 나열된 수열을 생각할 수 있어. 이 수열에서 유한한 자연수만을 선택할 경우 그 끝나지 않은 수열 뒤에서 그 선택한 자연수보다 더 큰 자연수가 있을 것인데, 이 상황은 그 어떤 유한한 자연수를 선택하든 똑같을 거야. 완결되고 확정적이지 않다고 하더라도, 오직 “그보다 더 많아질 수 있다” 는 점으로 무한에 대한 일을 대체할 수 있다는 것이야.

가무한은 무한 개념을 정의하지 않고도 제시할 수 있어.

이에 반해서 실무한은 “자연수 전체의 수”처럼 완결되고 확정적으로 되어 있어. 현대수학에선 이것의 크기를 숫자로 말하지 않고 기수라는 개념을 써서 해결해.

이제, 아리스토텔레스는 세상에 무한이라는 것은 가무한밖에 존재하지 않는다고 말해서 제논의 역설을 해결하려 했고, 현대수학은 실무한을 인정하는 대신 실무한이 어떻게 되어 있는지를 자세히 밝힘으로써 제논의 역설을 해결하려 했어.

하지만 무슨 접근이 더 우세한지는 판별할 수 없어.

2.3. 실제성은 증명할 수 없다

왜 두 개의 접근 중 하나가 우세하다고 볼 수 없느냐, 바로 무한의 실제성 때문이야.

실무한이라는 것이 실제로 존재하는 것일까?

“이 세상에” 실제로 존재하는 것일까?

그것은 알 수 없는 것이야.

현대수학이 실무한을 쓴다고 하더라도, 현재 세상을 수치화할 때 쓰는 것은 오직 모델링 역할밖에 하지 않는다고 할 수 있을지도 모르지.

이렇게 “무한이 실재하는가” 같은 철학적 문제에 헛도는 것은 별로 좋은 일이 아닌 거 같아.

문제가 전혀 풀리지 않는데다가 글도 재미가 없지.

그러니 여기서 이 논의를 멈추고 다른 재미있는 문제로 들어가 볼게.

3. 측도론의 문제

3.1. 제논의 세번째 역설, 측도론

제논의 세 번째 역설에 대해 말하겠어.

제논의 역설의 현대수학적 해결은 다른 두 역설과 약간 다른데, 그 해답에서 쓰는 이론에 대한 설명이 필요한 거 같아.

현대수학에서는 제논의 세번째 역설을 측도론을 써서 해결하는데, 이 측도론이 어떤 문제가 있는지를 밝히려고 해.

3.2. measure 0

측도론은 무한을 도입한 이후 생긴 이론이야.

현대수학에서 실무한을 엄밀하게 정리한 이후 그 무한을 어떻게 수학과 맞출 것인지를 정리해둔 것이야.

그런 만큼 직관과 전혀 맞지 않는 무한 관련 패러독스가 존재하는데, 그거를 설명하고자 해.

측도론에서 측도는 아주 거칠게 말해 길이, 혹은 확률이라고 생각하면 돼.

“반지름이 10cm인 원 모양의 다트판이 있어. 위치에 상관없이 맞출 확률이 같다고 할 때, 내가 여기서 다트를 던졌을 때 그 다트가 정중앙을 맞출 확률은 몇일까?”

이 문제의 답이 뭐인거 같아?

일단 0은 아닌 거 같아. 정중앙을 맞출 경우의 수는 분명 있으니까.

하지만 양수 중에서 그 어떤 양수도 이 확률을 제시할 순 없을 거 같아. 어떤 양수를 제시하던지간에, 그보다 더 작은 확률인 거 같거든.

정답은 0이야.

확률이 있는데 왜 0이냐고 말하겠지. 근데 0% 맞아.

0.0001%가 아니고 0% 맞아.

이 이상한 일을 조금만 더 이해할 수 있게 예시를 들어볼게.

수직선에 컴퍼스를 써서, 컴퍼스의 길이가 cos20˚가 될 확률은 얼마나 될까?

확률이 있기는 있으니 0은 아닌 거 같아.

하지만 그렇다고 하니까, 확률이 양수라고 하자. 8000만분의 1 같은.

만약 이렇게 말한다면 8000만번의 시행을 전부 해서 cos20˚가 되는 것에서부터 시작할 수 있게 돼.

작도를 시작할 수 있다는 거야.

그런데 원래 수학에선 “삼대 작도 불능 문제”라고 cos20˚를 작도할 수 없다는 증명이 이미 있어.

따라서 이렇게 부르트포스식 작도는 불가능하다는 거지.

그래서 8000만분의 1이라는 값은 틀렸고, 그에 따라서 모든 양수의 경우에 대해서도 아니라는 걸 알 수 있어.

이제 그래서 확률이 0인 걸 조금 받아들일 수 있겠어?

못 받아들이겠어도 뭐 괜찮아. 어려울 거 같긴 하다.

이것을 measure 0라고 칭해.

확률이 진짜 있는데, 확률을 0%라고 칭하는 게 진짜로 있어.

진짜로, 0%라고 적혀 있을 때 확률이 있을 수 있다는 거야.

그래서 이런 농담도 할 수 있어.

친구 : 그 여자가 너랑 사귈 리가 없어! 니 얼굴을 보고 생각을 좀 해라!

나 : 그래도 사귈 수는 있는 거지?

친구 : 아냐… 그 여자가 널 거절할 확률은 99.9%야!

나 : 그래서 사귈 수 있다는 거지?

친구 : 아냐… 99.9%도 아냐! 그 여자가 널 거절할 확률은 100%야!

나 : 그래서 사귈 수 있다는 거지?

친구 : ?????????

(재미없어서 죄송...)

3.3. measure 0의 덧셈

그러면 이러한 measure 0를 놓고 어떻게 확률을 계산하는지를 보자.

“수직선은 점으로 이루어져 있다”라는 말에 동의해?

이 말은 참이긴 해.

그런데 방법이 이상해. 앞으로 그거에 대해 말해보려 해.

measure 0로 돌아와서, 수직선에서 0을 딱 맞출 확률은 0이고, 수직선에서 1을 맞출 확률도 0이야.

이제 이걸 더하면 어떻게 될까?

중점이 (0,0)이고 반지름이 10인 원에서 0 또는 1을 맞출 확률은 무엇일까?

0+0이므로 0이라고 계산했다면, 그 계산이 맞아. 답은 0이야.

그렇다면 이제, x축과 y축이 모두 정수인 점을 맞출 확률은 무엇일까?

여기에서도 0이 정답이야. 0에는 0을 더하면 0이거든.

이제 생각해봐야 할 게 있어. 0에는 0을 더하면 0이잖아. 하지만 이 원은 점들로 이루어진 거잖아. 이 원이라는 것도 0+0+0+0+...일 거니까 크기가 0인 거 아닐까?

여기에 대한 대답이 좀 이상함.

일단 유한한 수의 0들의 합은 0임. 그건 그렇다 치자.

하지만 무한한 경우에는?

무한한 경우 중에서 “셀 수 있는” 경우에는 0이라고 말함.

무한한 경우 중에서 “셀 수 없는” 경우에서야 0이거나 0이 아닌 양수가 된다고 말함.

이거를 가산, 비가산이라고 말함.

셀 수 있는 경우와 셀 수 없는 경우가 뭔지 설명하는건 글의 의도를 크게 벗어날 거 같아서 말을 못 꺼내겠다… 관련 교양 책 많으니까 읽어봐.

그 “셀 수 없는” 경우에서는 더 이상 0+0+0+0+...이라고 표기하지 않음. 덧셈으로는 “셀 수 있는” 무한만 설명한다고 봄. 길이를 잴 때는 특수한 측도론의 용어를 써서 “셀 수 없는 무한”의 길이나 확률을 표기하려고 함.

이제, 현대수학이 화살의 역설도 해결하는 방법을 알 수 있음.

순간의 양은 0인 거야. 그리고 제논이 했던 방법은 오직 셀 수 있는 무한만을 설명한, 0+0+0+0+... 식의 표기였다는 거임.

하지만 실제로는 수직선은 셀 수 없는 무한이었고, 그것을 표기하는 것은 0+0+0+0+...가 아니었다는 것임.

화살의 역설을 측도론이 해결한 거지.

이렇게 제논의 역설은 잘 해결될 수 있을까?

아니라고 봐.

측도론은 직관과 정반대가 되는 패러독스들을 많이 가지고 있거든.

내가 위에서 말 하나를 일부러 틀린 게 있어.

“무한한 경우 중에서 ‘셀 수 없는’ 경우에서야 0이거나 0이 아닌 양수가 된다”고 했잖아.

사실 0과 양수 말고 세 번째 경우가 있음.

이거에 대해서 설명해볼까 해.

3.4. 비가측의 경우

측도론이란 이론 안에는 악동이 하나 있어.

“비가측”이라고 하는데, 말 그대로 측도가 불가능한 게 있어.

점으로 이루어져 있는데 길이를 잴 수는 없다는 거임.

그게 어떻게 가능한 건지 증명을 보여줄게.

[내가 지금 말하겠는데, 아래에 나올 증명 부분은 수능 지문보다도 더 어려울 거 같음. 지금까지 쓴 것도 매우 어려운데 더 어려운 게 나오는 게 좀 아닌 거 같아서, 못할 거 같으면 그냥 다음 챕터로 넘겨.]

v라는 집합을 하나 만든다고 가정하자.

v의 첫번째 원소는 0부터 1까지의 실수 중 하나를 골라.

그리고 v의 두번째 원소는, v의 첫번째 원소와의 차이가 유리수가 아닌 0부터 1까지의 숫자를 하나를 골라서 선택한다고 하자.

첫번째와 두번째 원소의 차이가 유리수가 아니어야 하는 점에 주목해.

그리고 v의 세번째 원소는, v의 첫번째 원소와도, 두번째 원소와도 차이가 유리수가 아닌 0부터 1까지의 숫자 하나를 선택한다고 해.

이렇게 v의 네번째 원소를 선택하고, v의 다섯번째 원소를 선택하는 거야.

이것을 무한히 반복하고, 그 뒤에도 더 무한히 반복해서, 더 이상 유리수의 차이가 나지 않을 때까지 선택한다고 하자. 그러면 v가 만들어지겠지.

이 v를 수직선상에 놓는다고 해봐.

0과 1 사이에 v의 점들이 놓여 있겠지.

이제 v+1이라는 집합을 생각해보자. v+1은 v의 모든 원소에 1을 더한 집합이야.

v+1의 점들은 1과 2 사이에 놓여 있을 거야.

이제 v의 모든 원소에 어떤 유리수, 예를 들어 3/7을 더한 v+3/7이란 집합을 수직선상에 놓는다고 생각해보자.

여기서 v와 v+3/7 간에 중복이 있는지를 생각해보자. 모든 v의 원소들은 각각이 유리수로 차이가 나지 않게 구성되었어. 이는 어떤 v의 원소도 각각이 3/7만큼 차이가 나지 않음을 뜻해. 따라서 v와 v+3/7 간에는 중복이 없어. 이와 같이, v+1와 v+3/7 간에도 중복이 없어.

v+3/7에 이어서 다른 유리수를 더한 집합을 수직선상에 놓아서, -1부터 2까지의 모든 유리수에 대해 집합을 만들어 이런 식으로 수직선상에 놓아보자.

여기서 하나의 사실을 알려줄게. 이렇게 할 경우, 0부터 1까지의 모든 숫자는 v나 v에 유리수를 더한 집합 중 하나에 속하게 돼.

이것에 길이가 있다면 0부터 1까지의 모든 숫자가 속하니 1보다는 클 것이고, 모든 숫자가 -1부터 2 안에 속하니 3보다는 작을 거야. 맞지?

이제 v 하나의 길이가, 측도가 있다고 가정하자

v 하나의 측도는 0이 아냐. v들의 합은 1 이상이어야만 해. 0의 합은 0일 수밖에 없어. 

측도는 어떤 양수가 될 수 없어. v들은 무한하고, v들의 합이 무한히 커질 것이기 때문이야.

v들은 “셀 수 있”어. 덧셈의 원칙은 계속 적용될 수밖에 없어. 0이어서 0인 경우, 양수여서 무한한 경우, 이 이외에 다른 경우는 없어.

v는 측도를 정의할 수 없다고 결론을 내려.

이게 수학에 어떤 영향을 미쳤는가. 이 비가측이란 것으로부터 최근 굉장히 유명해진 역설이 나오게 돼. 바로 바나흐-타르스키 역설이라고 하는데, 유튜브 Vsauce 채널에서 다뤄서 아는 사람은 잘 알거야. 링크는 https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA 여기 있어.

이 영상에서 도형을 조각내는 방법, 분해하는 방법이 많이 괴상하다고 느껴질 거야. 지금 위에 다룬 v를 구성하는 방법도 굉장히 비슷해 보이지. 이것을 수학자들은 “역설적 분해”라고 해. 이렇게 이상한 방법으로 선택하고 분해했기 때문에 이런 결과가 나올 수 있었던 거야.

3.5. 두 가지 마이너한 의견

자, 이런 이야기를 왜 설명했느냐?

이들이 얼마나 역설적인지를 알려주기 위해서야.

그리고 어떤 의견들은 왜 이것을 반대하는지를 알려주기 위해서야.

이런 역설적 상황을 반대하려고 나선 수학의 두 가지 마이너한 의견이 있어.

하나는 반-선택공리 파임. 

갑자기 선택공리라는 이상한 용어가 나와서 어려워하겠지만, 꼭 설명하지 않아도 될 거 같아.

v같은 이상한 집합들을 만들게 하는, “역설적 분해”를 가능케 하는 명제라고 생각해.

공리는, 역시 어느 정도 설명이 필요할 거 같지만, 그냥 “증명할 필요가 없는 참인 명제”라고 생각해.

수학자들은 모종의 이유로 이것을 공리로 두었어.

(역시 설명이 더 필요하겠지만, 이렇게 규정한 수학자들은 정말로 이성적이었어.)

그리고 지금 너가 생각하는 것처럼, 이것은 말도 안 된다는 사람들이 있어.

몇몇 수학자들은 이것을 거부하고 주류 수학자들과 다른 길로 가려고 해. 마치 오멜라스 떠나듯.

이 사람들에게 또 두 가지 부류가 있는데, 하나는 선택공리를 가정하지 않고 다른 방법으로 문제를 풀려고 하는 사람들이 있어.

다른 하나는, 선택공리를 아예 부정하는 명제 하나를 공리로 세우고, 선택공리와 반대되는 것을 참으로 보는 사람들이 있어.

그 다른 공리를 세운 후자의 경우에는, 모든 측도가 가측이야. 즉, 측도를 정의할 수 없는 그런 경우는 전혀 존재하지 않는다는 거야.

그러면 위에 있던 v는 뭐냐? 이 공리는 v 같이 이상한 집합을 만드는 거 자체가 불가능하다고 규정해. 

이 이야기는 여기서 넘어가자.

이 사람들보다 더 엄격하게 역설적 상황을 피하려는 사람들이 있어.

다른 하나는 반-무한공리 파임.

현대수학에서 무한(실무한)이 존재한다는 것은 공리로서 세워.

역시 이 글을 보는 사람이면 이것도 공리라는 걸 이상하게 생각할 거야.

이것을 거부하는 수학자들도 있어. 이들은 무한으로서 나온 많은 패러독스가 문제가 있다고 보고, 오직 유한, 아니면 우리가 무한이라고 하는 것 중에서도 가무한만을 지지하는 사람들이 있어.

이 사람들은, 집합 v같은 것 뿐만 아니라, 위에 나왔던 measure 0, 0%에 대한 역설적 상황까지 거부해.

이 반-무한공리 파는 이 글에서 정말 중요해. 바로 이 사람들이 현대수학에서의 제논의 역설의 해결을 거부하는 사람들이야.

혹시 이 반-무한공리 파는 “틀린” 게 아닐까?

하지만 이런 질문은 이상한 거라고 볼 수 있어.

일단 이 세상에서 무한이 있는지 없는지는 2.3에서 보다시피 해결이 되지 않은 문제고,

수학에서도 반-무한공리 파를 위한 수학도 있고, 주류 수학자들을 위한 수학이 각각 존재하기 때문이야.

칸토어의 명언이 딱 들어맞는 거지. “수학의 본질은 자유에 있다.”

그리고 이것으로부터, 제논의 세번째 역설의 해결에 대한 하나의 반대 의견이 나오게 돼.

4. 점과 gunk

4.1. 아리스토텔레스의 해결 방법

그러면 무엇이 해결법이라고 볼 수 있을까?

지금까지 제논의 세 번째 역설에 대한 아리스토텔레스의 해결법은 다루지 않았어.

이제 이것을 다뤄 볼까 해.

그리고 아리스토텔레스도 맞음을 보여줄 거야…

[미완성. 포기.]

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[말테의수기(artistrainer)]

고맙습니다

[익명(58.239)]

철학, 문학 전공한 문붕이 DFW쨩 ㅠ

[말테의수기(artistrainer)]

그래도 분석철학인 modal logic 했던 분인데 왜...

[익명(125.134)]

철알못이라 아닌데 그 분야가 막 수식처럼 기호 쓰면서 명제 따지는 분야임?

[말테의수기(artistrainer)]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_ontological_proof
여기서 outline 부분 보고 내용 조금만 훑어보고 맨 뒤에 있는 기호 범벅인 사진 봐봐. 이게 보통 modal logic이 하는 거임. 이런 건데도 DFW가 글쓸 때 오류가 났다는 거임

[익명(125.176)]

요즘 이런거 하심 - dc App

[말테의수기(artistrainer)]

??? 그래서요?

[익명(125.176)]

아니 열정있어 보여서. 열심히해 - dc App

[ㅎㅆㅂ(jfhdj6)]

저번에 이런 글 쓴다고 했던 것 기억남. 비평 해보면 1. 너말대로 졸작인 책이라면 굳이 그 이유를 찾아내서 비평글 쓸 필요 없이 인생에서 넘겨버리는 게 더 도움되지 않을까 싶음. 2. 가무한이란 개념도 역설을 해결하기 위해 만들어낸 개념일 뿐이지 엄밀하지도 않고 와닿지도 않음. 수학 문제를 해결할 수 없어 단어 정의의 문제로 도피한 꼴. 3. 여자친구 비유에 꽂힌 모양인데, 재미도 없고 이해에 도움되지도 않음. 4. 이런 내용에 관심 있으면 괴델에셔바흐 읽어보셈. 아무튼 잘 읽었고 다음에 마저 쓰면 또 읽을게

[말테의수기(artistrainer)]

3에 대해서는 전적으로 동의하겠음. 수학 전공서적 만드는 사람들이 예시를 ㅈㄴ게 못 댐... 나도 뼛속은 이과생이다보니 이렇게 된 거 같음. 1도 동의함. 남은 20-30% 중에서 10%가 그거 쓰려고 했음. 한번 goodreads 둘러봐.

[ㅎㅆㅂ(jfhdj6)]

그리고 dfw를 비판하는 이유부터 처음에 말해줘야지.