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[더숲튽훈(alcoholic0000)]

피타고라스, 수학의 초석을 세우다

'피타고라스'(Pythagoras, 기원전, 582?~497)는 기원전 582년경에 소아시아의 사모스에서 태어났다. 

그는 이집트와 바빌로니아-고대 수학, 과학, 경제의 성지 바빌론의 위엄... 바빌론을 알려면 <바빌론의 역사>를 읽어보세요.-에서 공부했고, 그리스로 돌아온 후에는 제자를 모아 가르치며 자신의 학파를 만들었다.

그는 제자를 두 부류로 나누었다. 한 부류는 수업만 듣고, 토론에는 참석하지 않는 일반 학생(아쿠스마틱스)으로 그들에게는 심오한 지식을 전수하지 않았다. 또 다른 부류는 그리스어로 ‘마테마티코이’라 부르는 피타고라스 학파의 진정한 회원이었다. 이 말은 나중에 ‘수학’을 뜻하는 라틴어 ‘마테마티카(mathematica)'로 발전했다.

피타고라스 학파는 ‘만물은 모두 수’라는 신념을 갖고 있었다. 그들은 모든 우주 현상이 어떤 숫자의 상호 관계로 이루어져 있고, 수의 성질을 연구하면 영원불멸한 우주의 진리를 알 수 있다고 믿었다. 물론 ‘수는 곧 만물이다’라는 주장은 터무니없지만, ‘사물이 따르는 규칙이 수학’이라는 점만은 분명하다. 자연계의 수학법칙을 탐구하는 과정이 근대 과학을 크게 발전시킨 것이다.

피타고라스 학파는 먼저 음악에서 음률의 수학적 원리를 발견했다. 예를 들어 높은 도와 낮은 도의 음정 비율은 1 : 2, 솔과 도의 비율은 2 : 3, 파와 도는 3 : 4, 미와 도는 4 : 5, 파와 레는 5 : 6 등이다.

피타고라스 학파는 수에 대해 독특한 인식을 갖고 있었다. 그들은 1‧3‧6‧10 등을 ‘삼각수’, 1‧4‧9‧16 등을 ‘사각수’, 1‧5‧12‧22 등을 ‘오각수’ 라고 불렀다. 피타고라스 학파는 변의 개수 사이의 관계를 발견했다. 예를 들면 다음과 같다.

 

(명제 1) 1부터 시작한 홀수의 합은 제곱수이다.

(명제 2) 사각수는 연이은 두 삼각수의 합이다.

(명제 3) n번째 오각수는(n-1)번째 삼각수의 3배와 n의 합과 같다.

 

위의 명제가 정확한지는 공식을 유도하지 않더라도 변의 개수의 구조를 분석해보면 알 수 있다.

피타고라스 정리

피타고라스 학파의 자랑거리는 뭐니뭐니 해도 ‘피타고라스 정리’, 즉 ‘직각삼각형의 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다’라는 사실의 발견이다. 피타고라스 정리는 수학 역사의 첫 번째 이정표라 할 수 있다. 삼각형의 변의 길이와 형태의 관계를 밝혔고, 훗날 해석 기하학의 ‘거리 공식’으로 발전했다. 또한 고차원 공간 수학에서도 중요한 의의를 갖는다. 따라서 피타고라스 정리는 ‘수학’이라는 건물의 초석으로 불리고 있다.

 

피타고라스 정리는 이미 4천여 년의 역사를 갖고 있으며, 증명 방법만도 400가지가 넘는다. 그중에는 레오나르도 다 빈치의 작품도 있고, 눈먼 어떤 아이의 증명도 있었다. 심지어 아인슈타인도 피타고라스 정리와 인연을 맺었다. 아이슈타인의 전기를 쓴 '모슈코프스키'는 젊은 시절 아이슈타인과 친분이 두터웠다. 그는 <아인슈타인과의 대화>에서 아인슈타인과 피타고라스 정리의 관계를 상세히 묘사하고 있다.

'어느날, 야코비 삼촌이 아인슈타인에게 피타고라스 정리에 대한 내용을 설명하면서 어떠한 증명법도 가르쳐주지 않았다. 그의 조카는 관련 내용을 이해하고 나자 논리적으로 유도해낼 수 있을 것 같은 생각이 들었다. …(중략) 이 꼬마 아이는 3주 내내 이 작업에 몰두해 결국 이 정리를 증명해냈다. 그는 삼각형의 유사성(직각삼각형의 한 점에서 빗변에 수선을 긋는 방법)에 착안해 증명 방법을 찾아냈다. 그는 오래도록 흥분에 휩싸였다. 비록 매우 오래된 유명한 정리를 증명한 것이지만, 그에게는 발견자의 기쁨을 처음으로 맛본 순간이었다.'  -아인슈타인-                                                                   

'무리수의 발견'

피타고라스 학파는 이 정리의 발견을 기념하기 위해 소 100마리를 잡아 자축했었다. 하지만 그들은 피타고라스 정리가 가져온 부산물인 ‘무리수의 발견’이 자신들을 곤경에 빠뜨리게 할 줄은 꿈에도 몰랐다.

 

피타고라스 정리에 따르면 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이는 √2 다.

√2 는 어떤 성격의 수일까? 피타고라스 학파가 주장한 ‘만물은 모두 수’라는 표현에서 ‘수’란 정수 또는 정수로 표시할 수 있는 비율의 수, 즉 '유리수(rational number)'를 가리킨다. 그러나 이 신념은 √2 때문에 생겼다. 왜냐하면 √2가 두 정수의 비, 즉 √2 = m분의 n (n, m은 서로소인 정수)라고 한다면 2m2=n2이므로 n2는 짝수가 된다. n2이 짝수이면, n도 짝수이므로 m2도 짝수가 된다. 이렇게 되면 n과 m이 서로소인 정수라는 가정에 모순된다. 이런 모순은 피타고라스 학파에게 큰 도전이었다.

 

일설에 의하면 피타고라스의 제자 '히파수스'(Hippasus)가 이 '비밀'을 알게 됐다. 그러자 피타고라스 추종자는 이 비밀을 지키기 위해 배를 타고 가던 중, 그를 바다에 빠뜨려 살해했다고 한다. 중학교 교과서에 나오는 ‘무리수’에 이런 비극적 일화가 숨어 있으리라고는 아무도 상상하지 못했을 것이다. 하지만 ‘무리수’는 ‘이치에 안 맞는 수’가 아니라 ‘비교할 수 없는 수(irrational number)’이다.

 

오늘날 피타고라스는 인류 문화에 깊이 각인되어 있다. 많은 나라에서 그를 기념하는 우표를 발행했고, 그의 고향 사모스에는 그를 기리는 동상이 세워졌다. 또 피타고라스 정리를 주제로 한 아동용 ‘수학 탐험’ 소설이 출간되기도 했다.

소수를 알려면 수학을 알아야 합니다. 수학의 아버지 피타고라스도 알아야죠!

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