2성 인벤션
어떠한 명제들에서 다른 명제들이 따라 나올 수 있는 규칙을 설정하는 것이 중요함을 보여 준다. 2장의 주제에 대한 문제의식을 잘 보여주는 듯하다.
제2장 수학에서의 의미와 형식
2장에서 핵심 개념은 이 책을 관통하는 개념인 '동형성'의 제시이다. 체계가 어떻게 의미를 가지는지(체계의 해석)를 고려하면서 형식체계와 의미를 무의식적으로 연결하던 시각에서 벗어나 의미의 해석에 대해 생각을 점검하면서 보게 되는 것 같다. 유클리드의 증명은 언제 봐도 아름답다.
오늘의 독회 부분 : 2성 인벤션/제2장 수학에서의 의미와 형식
정해진 본문을 읽고 드는 생각, 느낀 점이나 궁금한 점 등 다양하게 자신의 의견을 나누시면 됩니다.
다음 독회 일정 : 2021년 10월 5일 20시
다음 독회 부문 : 무반주 아킬레스를 위한 소나타/제3장 전경과 배경
- dc official App
죄송합니다 읽긴 읽었는데 술을 너무 먹어서 내가 지금 뭔 말 하는지도 모르겠습니다 내일 쓸게요
제가 늦어서 죄송합니다 ㅜㅜ - dc App
해당 댓글은 삭제되었습니다.
좋은 감상 감사합니다. - dc App
2장에서는 pq체계를 예시로 들며 형식체계가 무엇인지에 대한 맛보기를, 나아가 수학적 추론의 형식체계화에 대한 가능성을 제시하였습니다. - dc App
공리와 생성규칙이 주어지면 수많은 정리들을 생성해낼 수 있습니다. 이런 정리들을 거꾸로 되짚어가면 공리가 나오기 때문에, 형식체계는 결정절차를 가집니다.(다만 이것은 하나하나 확인하는 것이기에, 결정하는 데에 얼마의 시간이 소요될지 알 수 없을 겁니다.) - dc App
pq체계는 우리에게 익숙한 수학의 덧셈과 동형성을 가지기 때문에 pq체계의 '언어'로 표현된 식들이 정리인지 비정리인지는 유한한 시간 내에 결정가능합니다. - dc App
다만 pq체계의 결정절차가 유한한 시간내에 작동하는 것은 pq체계의 '해석'인 수학의 개념을 '빌려' 결정절차를 생각해낸 것이지, 그것이 형식체계 그 자체를 이용한 결정절차가 유한한 시간내에 끝난다는 것과는 다른 것인 듯 합니다. 호프스테터가 강조했듯이 형식체계와 그것의 해석을 구분하는 것은 늘 중요해보입니다. - dc App
(비유하자면 형식체계의 결정절차의 기본적인 꼴은 수열의 귀납적 정의를 이용한 것, 형식체계를 해석한 뒤의 결정절차는 수열의 일반항을 이용한 것입니다. 피보나치수열의 경우, 수열의 귀납적 정의로 정의되었지만 일반항 또한 존재한다는 사실에서 pq체계는 피보나치수열과도 비슷한 부분이 있다고 생각합니다.) - dc App
정리하자면, pq체계의 정리들이 생성되는 것에서 보았듯이 형식체계는 공리와 생성규칙 이 두가지 만으로 무한한 정리를 생성할 수 있습니다. 그리고 에셔의 해방(그림13)에서 보듯이 형식체계가 정리를 생성하는 점진적인 과정이 쌓였을 때, '뭔가가' 가능할 것 같습니다. - dc App
만일 형식체계가 적절한 해석을 가진다면, 그것의 '정리'들은 '참'이 될 것이고, 따라서 그 형식체계는 참인 명제들만을 계속해서 생성해낼 것이며, 정리와 비정리를 구분하는 결정절차를 통해 참 거짓을 구분할 수 있을지도 모릅니다. - dc App
그리고 만일 수학을 형식체계화 할 수 있다면, 우린 수론의 참인 명제를 무한히 만들어 낼 수 있을 것입니다. 우리가 아직 참인지 아닌지 모르는 수학의 명제들 또한 형식체계가 답을 줄 지도 모릅니다. - dc App
물론 몇가지 의문이 있습니다. 정말로 수학이 형식화 가능한 것인가, 만일 형식화 가능하다 하더라도 유한한 시간내에 작동하는 결정절차가 있는가 등입니다. - dc App
쓰다보니 줄거리 요약에 불과하게 된 것 같네요.. 혹시 독회에 참여할 수 있을까요? - dc App
좋은 감상 감사합니다! 자유롭게 참여해 주세요 - dc App