게 카논
거꾸로 읽어도 내용이 같은 대화. 원문으로 읽는 게 더 좋은 것 같다.
제8장 활자형 수론
7장의 명제계산 체계를 확장해서 수론의 모든 진리를 표현할 수 있을 거라 기대되는 TNT라는 수 체계를 제시한다. 수학적 진리를 얻기 위해 엄밀한 단계를 거치는 점이 인상적이다. 특히 덧셈의 교환법칙을 증명하기 위한 56열의 도출과정은 매우 인상적이다. 과연 TNT는 완전한 체계일까? 이름 그대로 터지지는 않을까?
오늘의 독회 부분 : 게 카논/제8장 활자형 수론
정해진 본문을 읽고 드는 생각, 느낀 점이나 궁금한 점 등 다양하게 자신의 의견을 나누시면 됩니다.
다음 독회 일정 : 2021년 10월 26일 20시
다음 독회 부문 : 무의 헌정/제9장 무문과 괴델
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꾸준추 줌 - dc App
양화사, 귀납규칙등을 가진 TNT는 수론에 대해 완전해보인다. 덧셈, 덧셈의 교환법칙을 정리로 가지니 TNT는 수론의 모든 연산을 표현할 수 있을 것이다. 양화사를 가졌으니 미지수에 관한 명제를 표현할 수 있을 것이다. 귀납규칙으로 오메가 모순까지 해결했다. 더할 나위 없다! - dc App
직관적으로 봤을 땐 TNT는 무모순인 것 같지만 아직 증명을 보지 못했다. 신중이의 입장에선 그것이 불안요소이다. TNT의 무모순성을 어떻게 증명할 수 있을까? - dc App
무모순성을 증명하기 위해선 TNT의 규칙들이 반드시 참으로 해석되는 정리만 도출함을 증명해야한다. 이것이 참임을 주장하는 체계를 가져오는 식의 증명이라면 증명엔 끝이 없을 것이다. 그래서 힐베르트가 더 약한 체계로 부터 증명하고자 했으나 실패했다. TNT의 무모순성을 증명할 만큼 충분히 강력한 체계는 어떤 체계던 간에 최소한 TNT만큼 강 - dc App
력함을 괴델이 밝혔기 때문이다. 체계로 체계를 증명하는 방식은 순환논리에 빠질 수 밖에 없다. 그러므로 TNT의 무모순성을 증명하는 것은 체계가 아닐 것이다. 이후의 장에서 힐베르트의 시도를 좌절시킨 괴델의 증명과 TNT 무모순성의 증명을 기대하도록 하자. - dc App
지금까지의 내용으로 봤을 때 GEB는 형식체계를 키워서 잡아먹고 싶어하는 것 같다. TNT까지 보여주면서 형식체계의 완전성에 대해 기대만발하게 해놓고선 산산조각낼 것이 분명하다. 애초에 TNT라고 이름붙였지 않은가. - dc App
TNT가 앞으로 폭발할 지의 여부보단 어떻게 폭발시킬지에 관심이 간다. - dc App