[신간📰] 제논의 역설은 어떻게 풀렸는가? (4)

https://youtu.be/Ki7EoH31UkM

“시간이 흐르면서 라이프니츠는 이른바 '보편 기호학 characteristica universalis'을 완성하기 위한 ‘보조적인' 성격의 또 다른 기획들을 추가하면서 이 조합 기술을 더욱 복잡하게 발전시켰다. 여기서 '기호'들은 종류를 초월한 모든 언어의 기호를 가리키며 '보편 기호학'이란 무엇보다도 ‘조합 기술에 관한 논문’에서 제시되었던 형태의 언어를 암시한다. 이어서 라이프니츠는 개념들을 완전하게 분석하는 것이 가능하며 이 단계에 도달하려면 무엇보다도 인간이 소유하는 모든 지식의 일반적인 목록이 필요하다는 것을 깨달았다.

바로 그런 이유에서 라이프니츠는 당대의 모든 지식을 수용할 수 있는 백과사전의 구축을 다양한 방식으로 모색했다. 백과사전이 완성된 다음에 해결해야 할 과제는 두 가지였다.

첫째, 개념들의 분석과 재조합 과정을 완성하기 위한 규칙들을 정립할 것.

둘째, 진정한 기호학을 구축하기 위해 필요한 문자 체계를 찾을 것.

첫 번째 과제를 해결하기 위해 라이프니츠가 염두에 두었던 것은 '분석'과 '조합'을 토대로 하는 새로운 과학의 정립이었다. 두 번째 과제의 해결을 위해 라이프니츠는 가장 적합한 문자 체계의 발견에 집중하는 아카데미의 설립을 시도했다. 기호들의 조합 기술을 구축하는 과정에서 가장 중요한 전제는 인간의 사고가 하나의 연산으로 환원된다는 것이었다. 라이프니츠는 라틴어 알파벳의 철자들을 개념 혹은 문장을 대체하는 변수로, 수학의 합산 기호들을 논리적 연산을 표상하는 기호로 활용하면서 거의 두 세기 후에 논리학자 조지 불이 독자적으로 재발견하게 될 결과를 얻어 내는 데 성공했다.”

철학적 해결법은 무엇이 있을까요.

여기서 또 나이브해져 봅시다. 철학이 수학처럼 되어야 한다고 생각한 1900년대 초반 논리학자처럼 생각해봅시다.

그것은 바로 논리적 도식을 만들어 해결해 보려는 접근입니다.

이 접근 방법은 두 가지의 중요한 점들을 의도하기 위해 쓰입니다. 첫째로 명료성입니다. 명료하게 말하는 과정, 단어를 엄밀하게 말하는 과정을 통해 이 문제를 풀 수 있다고 보는 것입니다. 둘째로 논박을 위해서 쓰는 것입니다. 멀게는 아리스토텔레스의 “소피스트적 논박”에서부터 진행된 것으로, 논변과 궤변을 구분할 수 있고, 논리적 오류를 지적할 수 있다고 보는 것입니다.

여기서 알려야만 할 것은 이 두 가지 목표는 논리적 도식을 구성하는 것을 제외하고도 많은 철학적 방법에서 대다수가 의도하고 있다는 것입니다. 논리는 철학사에서 많은 의미를 가집니다. 그렇기 때문에 논리적 도식을 이 글에서 예로 들 수 있겠지만, 뒤에 나오는 사례가 이 논리에서만 해당되는 일이 아님을, “보편 기호학”까지 해당되는 일임을 알려야만 합니다.

다음과 같은 도식을 생각해 봅시다.

1 - 이 가설로 세운 램프는 가능하다.

2 - 어느 주어진 순간에 램프는 켜져 있거나 꺼져 있다.

3 - 물리적인 과정들은 연속적으로 바뀐다. x의 크기를 가진 task(일)가 시간 t 이전에 끝나도록 설정되어 있다면, x가 얼마나 작다 한들, task가 끝난 뒤에 물리적 상태가 바뀌도록 설정되어 있다.

4 - 시간 t가 1초이다. 1초 전의 x의 크기를 가진 task에서, 램프는 꺼져 있었다.

5 - 시간 t가 1초이다. 1초 전의 x의 크기를 가진 task에서, 램프는 켜져 있었다.

6 - 1초에, 이 램프는 켜져 있다. (3과 4로 인해)

7 - 1초에, 이 램프는 꺼져 있다. (3과 5로 인해)

8 - 모순이 생긴다 (6과 7로 인해)

이것은 전에 있었던 톰슨의 램프에 대한 엄밀한 논리적 도식입니다.

이 도식은 전과 달리 모순이 생긴 것으로 끝나 있는데, 전에 언급했던 베나세라프가 말한 역설이 해결될 수 있다는 주장과 다른 결론을 낸 것입니다.

이때 베나세라프와 같은 해결을 내려는 사람들은, 아직 이 도식이 더 드러내 주지 않았다고 해석할 수 있습니다.

다시 말해, 이 엄밀한 도식이 아직 전부 엄밀하지 않다고 말하는 것입니다.

이 경우 사람들은 이렇게 질문할 것입니다.

첫째로 도식에 나와 있는 문구 중 하나를 제시하여 문제를 삼을 것입니다.

둘째로 도식에 나와 있는 용어가 애매하게 쓰여졌고 그것의 명료화를 지적하는 것입니다.

셋째로 도식에 나와있지 않은 전제가 하나 있어서 그 전제에 문제가 있음을 지적하는 것입니다.

그 등등 많을 것입니다.

이들은 사실상 같은 방법을 쓰고 있습니다.

이 논리적 도식에서 베나세라프가 해결 방법을 결론으로 두기 위해서는 3에서 나오는 문구를 문제삼아야 합니다. task(일)가 어느 정도의 크기를 가지는지에 대한 명료화를 제시해야만 하는 것입니다. 도식에 전제가 하나 있어서 그것이 문제임을 지적하는 것입니다.

그 숨겨진 전제라는 것은 다음과 같습니다.

3.1 - task(일)의 크기는 0초보다 크다.

베나세라프의 해결 방법을 결론으로 두기 위해서는 이것을 지적해야만 합니다.

task가 정확히 0초의 크기를 가질 수 있어야만 합니다.

task라는 것은 0초의 크기를 가질 때에도 해당됨을 주장해야 합니다.

이것을 과도한 주장이 아니라고 할 사람도 있을 것입니다. 3에서는 “x가 얼마나 작다 한들”이라는 표현이 있었기 때문에 0초도 포함될 수 있음을 보여준다는 예시가 된다고 말할 수 있을 것입니다.

하지만 이것을 과도한 주장이라고 말할 사람도 있을 것입니다. 무엇보다도 우리가 0초간 진행되는 task의 실제 사례가 무엇인지를 전혀 보지 못했기 때문입니다.

이 문제는 정확히 전에 말했던 measure 0의 문제와 동일합니다.

확률이 0이라는 것, 선분이 길이가 없다는 것, 즉 “확률이 있음에도 불구하고 확률이 0이라는 것”이 이 문제와 동일합니다.

그 문제가 수학 자체로 풀릴 수 없는 일임은 이 전에 설명했습니다.

“0초의 크기를 가진 task가 있을 수 있느냐”의 문제는 굉장히 중요한 문제인데,

이것이 톰슨의 램프가 아닌 모든 supertask의 문제에서 전부 해당되는 문제기 때문입니다.

제논의 역설의 경우도 마찬가지입니다.

“아킬레스가 0초의 크기를 가진 task가 있을 수 있는가”라는 문제와 같았기 때문입니다.

여기서 가장 주목해야 하는 것은 이 문제에 맞닥뜨린 베나세라프의 주장입니다.

베나세라프는, 베나세라프의 해결 방법대로라면 0초인 task가 있다고 주장해야만 함에도 불구하고, 여기서 일상의 용어사용에서 쓰이는 방법을 지켜보아야 문제가 풀린다는 주장을 했습니다. 용어, 즉 task라는 용어가 사용되는 곳에 따라서 의미가 달라진다고 보았고, 최소의 시간이 없는 경우에 사용될 경우 0초의 task가 있을 수 있고, 최소의 시간이 있어서 0초보다 더 크기가 커야만 하는 곳에 사용될 경우 0초의 task가 있으면 안된다고 주장했습니다.

“0초의 크기를 가진 task가 있다”고 주장하는 사람들에게 이것은 베나세라프의 의견 철회나 다를 바 없었습니다. 언어의 사용으로부터 의미가 변하니 용어의 사용을 지켜보자는 의견이라면 대체 supertask에서 0초의 task가 있을 수 있는지 없는지에 대해 대답을 확실히 줄 수 없기 때문입니다.

“스타카토 제논의 역설”로 전에 언급한 Adolf Grünbaum은 베나세라프의 이 해결에 대해서 이렇게 비판했습니다. “우리는 평범한 언어에 몰두하는 것에 주의를 기울여야 하며, 언어에 의해 희생당하거나 모욕당하지 않도록 경계해야 한다.” Adolf Grünbaum은 그렇게 0초의 크기를 가진 task가 있다고 주장했습니다. 하지만 이 주장 또한 언어의 형이상학적 혼란에 빠진 것이 아니냐는 비판을 가질 수 있을 것입니다.

이것이 논리적 오류를 지적함으로서 풀려지지 않을 문제라는 것을 확인할 수 있습니다.

0초에 할 수 있는 task가 있느냐라는 문제는 결국 0초, 0이라는 것이 어떤 용도로 쓰이는지에 대한 것인데, 0초에 할 수 있는 일로 measure 0가 있고 그것이 아닌 0가 있다는 것을 말하는 것입니다.

“0초의 크기를 가진 task는 있다”고 찬성하는 자는, 지금까지 0이라는 표현이 애매성을 가지고 있었고, 0에는 measure 0와 measure 0가 아닌 0이 있고, 0초이므로 task를 해낼 수 없다는 주장은 애매성의 오류를 가진 것이라고 주장할 것입니다.

“0초의 크기를 가진 task는 없다”고 반대하는 자는, 0초인 것에는 아무 차이가 있는 것이 아니며, 0초가 measure 0와 measure 0가 아닌 0이 있다고 주장함과 동시에 0초이므로 task를 해낼 수 있다는 주장은 언어를 구별해서 쓰지만 언어의 의미상의 차이가 없는 차이 없는 구별의 오류를 가진 것이라고 주장할 것입니다.

이러한 논리적 도식의 문제는 화이트헤드의 또다른 주장, 또다른 비탄에서도 확인할 수 있습니다.

“철학적 범주의 도식을 하나의 복합적인 주장으로 보고 거기에다 논리학자가 말하는 참과 거짓이라는 양자택일적 척도를 적용시킬 경우, 그 대답은 그 도식이 거짓이라는 것이 될 것임에 틀림없다.”

논리적 도식을 만들어내어 참과 거짓을 분류해낸 뒤 자기 주장을 표출하게 된다면, 무조건 그 도식이 잘못되었다는 비판이 나올 수밖에 없다는 것입니다.

러셀과 수학 원리를 공저한 한 논리학자의 주장으로서는 받아들이기 어려울 지 모릅니다.

하지만 이것은 이 주장에서 끝낼 것이 아닌 더 강한 주장을 담고 있습니다.

왜냐하면, 이것은 명료성과 제1원리와 같은 것을 추구하는 철학자들에게 똑같이 그렇게 생각하는 다른 철학자들이 그를 절대 동의하지 않으리란 점을 내포하고 있기 때문입니다.

이 비탄은 논증을 두 가지로 나누고 있습니다.

하나는 일반논증이고 하나는 메타논증입니다.

일반논증은 논리적 도식 안에 들어가 있는 명제입니다.

메타논증은 하나의 논리적 도식이 어떤 명제와 같은 지위를 차지할 때의 그 명제입니다.

메타논증의 예로, "이 논리적 도식은 잘못되었다.", "이 논의는 철학적 혼란에 불과하다.", "도식에 나와있지 않은 전제가 하나 있어 그 숨겨진 전제가 문제가 있다."가 있습니다.

화이트헤드가 말하려는 것은, 논리를 과신하는 철학자들과 그들의 학문의 방식을 다른 학문에서도 적용하려 하는 논리학자들이, 일반논증으로 구성된 논리적 도식으로 한 주장을 참이라고 제시할 경우, 똑같이 논리를 과신하는 다른 자들이 언제나 그 논리적 도식에 대한 메타명제를 제시하여 그를 비판할 것이라는 것입니다.

메타명제는 또한 명제고 일반명제이기 때문에, 메타메타명제, 메타메타메타명제... 로 이어져 이 논리가 끝나지 않을 것이라는 점도 알 수 있습니다.

이외에도 제논의 역설을 해결하려는 시도는 아주 많았습니다.

어떤 사람은 점을 기하학의 가장 작은 단위로 두는 현대 기하학에 반론을 제기합니다. 기하학이 더욱더 철저해야 한다고 주장하며 점보다 더 작은 공간인 gunk라는 개념을 제시합니다.

어떤 사람은 역설 자체의 논리적 위치를 순화시킵니다. 논리학 안에서 어떤 모순은 참된 모순이라고 주장하고, 모순에 대한 논리학의 금지를 순화하면서 “화살은 이 순간 이 점에 있다”와 “화살은 이 순간 이 점에 있지 않다”를 둘 다 참이라고 봅니다.

어떤 사람은 철학의 위치를 제한합니다. 철학이 할 수 있는 것과 철학이 할 수 없는 것을 규정하려고 시도합니다. 보통 이것을 주장하는 사람들은 시간과 공간에 대한 논변과 무한에 대한 논변을 제한하기 때문에, 제논의 역설을 철학이 풀 수 없는 것, 해결되는 것이 아닌 보여지는 것이라고 말합니다.

이 모든 논변들은, 그러나, 이에 대한 또다른 비판에 시달리게 되었습니다.

점에 대항하는 gunk를 주장하는 사람들은 gunk와 gunk 사이의 운동에 문제를 제기하는 또다른 복수하는 제논의 역설로 문제를 일으켰습니다.

역설을 순화시킨 논리는 부정의 절대적 특성이어야 할 "부정"이 결정적인 특징을 포함하지 않고 연산자가 되었다고 비판받았습니다.

철학의 위치를 제한한 사람은 그 제한이 대체 어느 정도여야 하느냐는, 제논의 역설의 해결이 포함되어야 하지 않느냐는 반론에 시달렸습니다.

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{이쁘다...}

제논의 역설은 어떻게 풀리는가에 대해 말해야 할 것 같습니다.

제논의 역설은, 아직까지, 그리고 아무래도 영원히, 풀리지 않을 겁니다.

과학적이고 수학적이게 끝날 것 같았던 제논의 역설에 대한 해결은, 과도하지만 필요했던 분석을 통해 task가 0초일 수 있냐는 문제로 변해버렸습니다.

세계에 대한 통찰에 대한 문제가 사소한 용어에 대한 분쟁으로 변해버렸습니다.

화이트헤드는, 이런 상황이 모든 논리적 도식에서 반드시 일어날 일이라고 말하고 있습니다.

메타논증이 일반논증으로 바뀌는 상황을 절대 막을 수 없다고 말하고 있습니다.

제논의 역설이 풀릴 수 없음을 화이트헤드가 증명한 것입니다.

(엄밀히 말하면, 증명이지는 않습니다. 화이트헤드가 말한 것은 논증이 아닌 lament, 비탄이기 때문입니다. 하지만 비탄이면 뭐 어쩌겠습니까?)

처음으로 논증으로 자기 철학을 밝힌 사람의 논증, 이렇게나 원시적인 논증 앞에서도 우리는 다시 돌아가야 하는 것입니다.

제논은 어쩌면 논리라는 오류를 인식한 최초의 사람이었을지 모릅니다. 그리고 그는 어쩌면 그 이후의 세상과 인류의 모든 역사를 수반한 논리에 대한 희망엔 맨 처음부터 비논리적인 낙인이 찍혀 있다는 것을 알고 있었는지도 모릅니다.

비트겐슈타인이란 철학자는 이런 철학적 상황에 대해 간파했던 사람입니다.

그는 모든 철학적 이론이 반박이 불가하다고 말합니다.

제논의 역설마저도 반박이 불가하다면 모든 이론이 반박 불가능한 것은 사실로 보여집니다.

그렇다면 지금까지 보아왔던 그 논증과 비판들은 무엇이었을까요.

비트겐슈타인은 지금까지의 수많은 논증들은 객관적 진리로 다가가는 것이 아니라 어떠한 그림, 인식 틀을 제공함으로서 일어나는 설득, 개종과 같은 설득이었다고 말합니다.

그는 수학의 기초를 분석하면서, 심지어는 수학에서 나오는 증명마저도 깊게 들여다보면 그런 개종에 불과했다고 말합니다.

뇌절 파트 E입니다. 괄호 안에 들어간 글은 많이 어려우니 넘기셔도 됩니다.

비트겐슈타인이 말하는 그림에 대한 설명은 이렇습니다.

비트겐슈타인은 5×4=4×5의 증명이 이것이 될 수 있다고 봅니다.

OOOOO

마치 어린아이에게 책상 앞에서 가르치는 것처럼, 저렇게 써진 종이를 계속 돌려가면서 보여준 뒤에 어린아이가 5×4이 4×5임을 깨닫는다면 이것이 증명의 지위를 가질 수 있다고 생각했습니다.

비트겐슈타인은 이에 더해서, 모든 수학적 증명이 알고보면 다 이런 것이라고 말합니다.

A에서 B가 참임을 보이는 증명이 있다 할 때, A에서 어떻게 B가 되느냐고 묻는다면 그는 A에서 C가 된 뒤에 C에서 B가 됨을 보일 것입니다. 그렇다면 또다시 A에서 어떻게 C가 되느냐고 묻는다면 그는 A에서 D가 된 뒤에 D에서 C가 됨을 보일 것입니다. 이것을 계속한다면 어떤 일이 일어나는가?

비트겐슈타인은 이렇게 비탄합니다.

"단지 우리는 그렇게 한다라고 말해야 하는 우리의 과정에 대해서 어떤 정당화를 부여하는 것이다."

비트겐슈타인은 말하고자 하는 것은 이것이었습니다. 언젠가는 그 사람이 그것이 공리라고 말하거나, “단지 우리는 그렇게 한다”고 말하면서 그 증명의 타당성에 대해 호소할 것이 아무것도 없다고 밝힐 것이라고 말입니다.

5×4=4×5임을 더 구체적인 논리를 사용해 증명할 수 있지 않느냐고 제기할 수도 있을 것입니다. 페아노 공리계와 집합론을 사용하면 되지 않느냐고 말입니다. 하지만 비트겐슈타인은 이런 접근이 기존 수학을 엄밀히 서술하기 위해서 필요한 것이면 몰라도 철학적으로는 전혀 가치를 가지지 않는, 단지 동어반복에 불과한 것이라 말합니다.

하지만, 이럼에도, 5×4=4×5임을 저 그림을 통해 알지 못하는 사람은 어떨까요. 비트겐슈타인은 이런 회의주의를 거부하려 합니다. 이런 것을 극단적 사변이라고 보고 이런 일이 보통 일어나지 않음을 보입니다.

비트겐슈타인은 철학의 임무가 정신적 혼란을 잠재우는 일이라고 봤습니다. 사유의 늪에 빠져버린 사람을 구출하기 위해 개종을 시도하는 것이 철학의 일이라고 보았습니다.

뇌절 파트 E가 끝났습니다.

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[신간📰] 제논의 역설은 어떻게 풀렸는가? (4)

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