제논의 역설을 수학적으로 다루는 책이 있는지 누가 물었더라. (URL: https://gall.dcinside.com/m/reading/389213)
아킬레우스와 거북이 역설에 대한 수학적 반론: https://cafe.naver.com/ihatemath/11810
작년에 참여한 서양 철학사 학습 모임에서 제논의 여러 가지 역설에 대한 설명을 들었는데, 그중 아킬레우스와 거북이 역설을 수학적으로 반론해 봤어. 수학 증명을 자세히 적으려면 너무 많은 수식을 입력해야 돼서 중간 과정을 몽땅 생략했어. 나중에 시간이 나면 글의 내용을 보강할게.
글의 내용 가운데 잘못된 부분이 있으면 꼭 알려 줘.
갤 잘못 들어온줄 알았네
쓰레기머학생 팬카페도있네 ㄷㄷㄷㄷ
제논의 역설 자체가 말장난에 불과한데 뭘 수학적 반론까지
수학 연습 문제 하나 풀었다고 생각하지, 뭐!
수학이나 철학은 당연하다고 생각되는거에 의문품는것 으로 부터 시작됨
제논의 역설 듣고 "어? 이거 아닌건 확실한데 왜 아닌지 설명하기가 쉽지않네?" 같은 생각을 못한다는건
제논의 역설은 무한히 따라잡을 수 없다는 걸 주장하기보다, 운동 자체가 논리적 모순을 일으킨다를 주장하려고 하고 있습니다. 그래서 [0,무한) 동안 따라잡지 못한다는 비약을 저질렀다고 하기가 좀 그래요. 무엇보다, 님의 글에서 가장 이상한 부분은 10dt/9에 거북이를 따라잡는다는 말입니다. 이것은 어떻게 보여주나요?
관련 강의록 :
https://faculty.washington.edu/smcohen/320/zeno3.htm
매우 흥미로운 강의록을 알려 주셔서 감사합니다. 다만 제임스 톰슨(James Thomson)이 자신의 논증에 문제점이 있음을 이미 스스로 인정했는데, "주자[runner]가 모든 Z 달리기를 완료했음은 모순을 수반한다."라는 주장을 어떻게 뒷받침할 수 있을까요?
t가 [0, ∞)에 속하는 실수일 때, 시각 t에서의 거북이와 아킬레우스의 위치를 각각 Tor(t), Ach(t)로 나타내겠습니다. 그러면 [0, ∞)에 속하는 모든 실수 t에 대해 다음이 성립합니다. Tor(t) = vt + 100 Ach(t) = 10vt 원문에서 제가 v > 0임을 명시하지 않았지만 이는 문맥에서 충분히 파악할 수 있습니다.
vΔt = 10이므로, 시각 10Δt/9에서의 거북이와 아킬레우스의 위치는 각각 다음과 같습니다. Tor(10Δt/9) = v × 10Δt/9 + 100 = 10vΔt/9 + 100 = 100/9 + 100 = 1000/9 Ach(10Δt/9) = 10v × 10Δt/9 = 100vΔt/9 = 1000/9 즉, Tor(10Δt/9) = Ach(10Δt/9)입니다.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ross%E2%80%93Littlewood_paradox
또다른 문제를 낳기 때문입니다. 이중에는 strict finitist인 Jean Paul Van Bendegem이란 사람도 있죠.
그리고 또한 톰슨에 반론을 제기한 베나세라프는 이 철학적 문제의 변형된 물음을 논의하는 데 있어 결국에는 맥락에 의존해야 한다 해서, 논리실증주의를 현재도 받아들이는 사람인 아돌프 그륀바움에게 비판받았습니다. 일상언어학파와 이상언어학파의 충돌과 비슷한 게 또 일어났죠.
그리고 마지막으로 수학자라면 조금 어이없어할(ㅎ) 철학적 논변이 있는데, 왜 실수를 써야 하고, 왜 실무한을 써야 하냐는 그런 가치없어 보이는 논변을 철학자들은 제시해야 합니다. "모든 실수 t"는 마치 선결문제 요구의 오류처럼 보이겠죠.
이렇게 하면 결국 진리에 대한 문제 많은 철학적 문제는 뮌하우젠 트릴레마로 들어가겠죠. 진리는 결국 infinite regress이거나, circular reasoning이거나, axiomatic 혹은 dogmatic하다는 결론이 나오고, 이것에 대해서는 아직까지 명확한 해답이 없다는 것은 아실 겁니다.
말테의수기 님이 작성한 위의 네 가지 댓글의 내용은 제가 아직 잘 이해가 안 가네요. 나중에 철학을 공부할 시간이 있으면 다시 살펴보겠습니다.
다만 셋째 댓글에 대해서는 지금 얘기할 거리가 하나 있네요. 실수와 실무한이라는 두 개념을 이용한 제 논증은 실생활과 '어느 정도' 잘 일치합니다. 이 두 개념을 이용하면 자연 현상을 '실용적인 차원에서' 잘 설명할 수 있으므로, 물리학과 공학에서도 실수와 실무한이 기본적으로 쓰이는 것이겠죠.