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(참고로, 벌써 출간된지 20년이 넘은 책이라서 이 분야에 깊은 이해가 있다면 어처구니 내용이 있을 수 있음!)
지난번에 처음으로 독갤에 글을 올렸어.
휘뚜루마뚜루 쓰기도 했었고, 뜬금 없는 식물 이야기라서,
노잼이라고 욕댓글 박힐 줄 알았었는데...
너무 고맙게도 개념글에 올랐더라고.
(독갤 형누님들 감사합니다.)
식물 이야기도 재밌게 읽어주신 분들이 있다는 것에 용기를 얻었으니,
오늘은 브라이언 그린의 "앨러건트 유니버스"라는 책을 소개해주려고 해.
--
이 책은 대중과학서이지만 무지하게 대중적이지는 않아.
90페이지 정도까지는
고등학교 시절 물리 수업에서 배우는 수준으로 커버가 되지만,
수학이나 물리학에 대한 이해가 부족하다면 후반부로 갈 수록 버거울 수 있어.
*
그래서, 이 책의 과학적인 내용을 상세히 설명하기 보다는,
이 책의 주요 골자인 4가지 힘(약력, 강력, 전자기력, 중력)을 커버함과 동시에,
대중적으로 많이 사용하지만 사소한 오해가 있을 수 있는 개념들을 짚고 넘어가볼게.
내가 커버할 개념은 (1) 대칭성, (2) 시간지연식, (3) 차원, 그리고 아주 약간의 토폴로지야.
(토폴로지를 한국어로 쓰니까 쓰면 안 되는 단어라고 나오네?)
각각 너무 재밌는 요소가 많아서 길어지면 끝도 없이 길어질 수 있으니,
최대한 간략하게 요점만 잡아볼게!
[!!글 등록하기 전 긴급 수정사항!!]
작성하다보니, 너무 길어져서 중력만 다루기로 함.
*
내가 이 책을 처음 읽었던 2007년까지만 해도,
초끈이론이니, M Theory라느니, 이런 것들이 꽤나 힙했어.
저 이론들이 뭐길래 힙했냐?
물리학계에는 Theory of Everything(TOE), 즉, 모든것들을 설명하는,
단 하나의 궁극의 이론이라는 꿈의 떡밥이 있는데,
드디어 저 이론들을 통해 원피스를 찾은 것 같다고 다들 호들갑을 떨었었거든.
*
역사적으로 보면,
물리학은 꽤나 국지적인 현상을 설명하기 위한 수식들로 시작되었어.
그리고,
이런 수식들이 하나로 합쳐지면서 더 포괄적인 힘을 다루는 법칙들로 정립되었어.
수식들끼리의 M&A가 계속 이어져 온 것이지.
작게 보자면,
뉴턴이 중력에 대한 이론을 만들면서,
땅 위에서 일어나는 현상들과, 하늘의 천체들이 움직이는 현상들을
하나의 물리법칙으로 통합시켰지.
(물리학의 시작이라고 볼 수도 있는데, 지상과 하늘, 그리고 우주의 천체들을 하나의 틀 안에서 설명하는 정말 로맨틱한 시작이었다고 생각해.)
조금 크게 보자면,
전기를 설명하는 방식과 자기를 설명하는 방식을 통합하면서
전자기력이라는 힘이라는 개념이 생긴 것도 있고.
*
지금 우리가 알고 있는 힘은 사천왕 체제야.
(강한핵력>전자기력>>약한핵력>>>>>>>중력)
1. 중력
(출처: NASA)
제일 유명하고, 중고등학교 수준의 수학만으로도 금방 이해할 수 있는 힘이야.
그리고, 우리에게 익숙한만큼, 사천왕 중 제일 약해.
얼마나 약하나면,
두번째로 익숙한 전자기력에 비해 10^36배 약해.
(냉장고에 붙어있는 아주 작은 자석만 보더라도, 중력에 의해 땅바닥으로 떨어지지 않지? 중력이 무지 약해서 그래.)
*
자,
여기서 짚고 넘어가고 싶은 개념이 바로 대칭성과 차원이야.
저 그림에는 중력에 대한 오류가 있으니, 차원을 나중에 다루고,
먼저, 다루기 쉬운 대칭성을 얘기해보자.
우리는 3가지 방식으로 대칭성을 이해해볼게.
*
1. 시간적 대칭성
어떤 수학적, 또는 물리학적인 법칙이 시간의 구애를 받지 않고 통용된다면,
시간적 대칭성이 있다고 말할 수 있어.
오늘 아침 내가 침대에서 일어날 때 이겨내야 했던 중력에 대한 수식은
300년 전, 침대에 누워 죽어가던 뉴턴이 버텨내던 중력뿐만 아니라,
300,000년 전, 절벽에서 떨어지던 호모 사피엔스의 낙하 속도 계산에도 적용 될 수 있어.
중력은 시간적 대칭성이 있어.
(아, 더 얘기하면 중력의 시간적 대칭성은 논란의 여지가 있을 수 있으니 여기까지만 알아도 책 이해하는데는 문제 없어.)
*
2. 공간적 대칭성
어떤 수학적, 또는 물리학적인 법칙이 공간의 구애를 받지 않고 통용된다면,
공간적 대칭성이 있다고 말할 수 있어.
오늘 아침 내가 침대에서 일어날 때 이겨내야 했던 중력에 대한 수식은
런던에서 침대에 누워 죽어가던 뉴턴이 버텨냈던 중력뿐만 아니라,
모로코 어딘가, 절벽에서 떨어지던 호모 사피엔스의 낙하 속도 계산에도 적용될 수 있어.
중력은 공간적 대칭성이 있어.
(아, 더 얘기하면 중력의 공간적 대칭성은 논란의 여지가 있을 수 있으니 여기까지만 알아도 책 이해하는데는 문제 없어.)
*
시/공간적 대칭성은 대칭되게 적었으니 대칭성에 대해 더 잘 기억할 수 있을 거야.
*
3. 토폴로지에서의 대칭성 (그냥 대칭성 얘기하는 김에 재밌어서 추가함)
간단히 말하자면,
땡겨서 늘리거나, 꾹 눌러서 줄여본 후에, 겹쳐보면 똑같은 것이야.
찢거나 구멍 뚫는 건 안 되고.
가장 흔히 사용되는 케이스를 보면 쉽게 이해가 갈 거야.
"머그컵은 도넛(Torus라고도 함)이랑 똑같은 모양임."
(출처: 위키피디아)
머그컵에서부터 도넛까지의 모양 변형을 보면,
늘리거나, 줄이기만 했을 뿐, 구멍을 뚫거나, 찢지는 않았어.
그리고 같은 모양이 되었지.
*
이런 것도 대칭이라고 볼 수 있어.
따라서,
머그컵과 도넛뿐만 아니라, 빨대와 터널까지 모두 대칭이야.
그러나!
손잡이 구멍이 없는 밥그릇은 도넛이랑 대칭이 아님!
*
이 개념을 이해하면,
전에 유행했던 난제, "빨대는 구멍이 하나일까 두개일까?"를 해결할 수 있어.
*
빨대는 구멍이 뚫린 원통형 모양이지?
이걸 쭈욱 눌러서 압축해보자.
그럼 납작해지면서 반지 모양이 될 것이고,
남은 높이와 두께도 계속 가늘어지게, 결국 0에 수렴하게끔 쭉 눌러봐.
그러면, 1차원 폐곡선(두께/높이가 없는 머리끈)이 될 거야.
고로, 빨대는 구멍이 1개야.
*
그 다음, 차원.
내가 아까 전에 중력의 이미지에 오류가 있다고 했지?
보통,
무게가 있는 물체는 그 무게로 시공간을 눌러서 구부러뜨리고,
그 구부러진 공간을 따라서 다른 것들이 끌려오는 것이 중력의 작동방식이라고 이미지화를 하곤 해.
마치, 트램폴린 위에 무거운 볼링공을 두면,
볼링공의 중심으로 주변의 공간이 가라앉으면서 곡선이 생기는 것처럼 말야.
그러나,
차원에 있어서, 이건 매우 단편적인 모습이야.
아까 그림에는, 중력이 2차원 면에만 적용하는 것처럼 보이니까.
사실은 더 넓은 공간적 차원에 대해 모두 적용되는 것임을 염두해 둬야해.
(출처: 레딧. gif 볼 수 있는 링크를 넣으려고 했더니 들어가면 안 되는 단어가 있다고 나옴...)
사실은 이렇게 구부러지는 거야.
*
넘을 수 없는 4차원의 벽이라느니, 우주는 3차원 공간 + 1차원 시간이 합쳐저서 4차원이라느니,
말들이 많아.
그런데, 차원의 정의는...
아주 쉽게 이야기 하자면 축(axis)의 개수라고 보면 돼.
이건 다들 직관적으로 알고 있지?
1차원 = 축 1개 (ex. x축)
즉, 앞/뒤로만 다닐 수 있어.
2차원은 축 2개 (ex. x축과 y축)
앞/뒤 뿐만아니라 위/아래로도 다니지.
3차원은 xyz축.
앞/뒤, 위/아래/ 양옆으로 다니지.
여기서 중요한 점은, 축들이 서로에 대해 직각으로 만나야 한다는 점이야.
*
그럼, 4차원은?
우리가 이미 설치한 x, y, z 축 모두에 대해서 직각으로 만나는 새로운 축을 생각해낼 수 있어?
절대 안 그려지지?
그러니까 공간적 4차원은 없다고 보는 게 학계의 중론이야.
*
는 뻥이고,
역으로 생각해볼 수도 있어.
*
1차원인 직선을 자르면 단면이 어떻게 생겼을까?
0차원인 점이겠지?
2차원인 면을 자르면 단면은 1차원인 직선이 나오고,
3차원인 도형을 자르면 단면은 2차원인 면이 나와.
이처럼, n차원의 무언가를 잘라서 생기는 단면은 n-1차원이라는 걸 알 수 있어.
그렇다면,
4차원인 무언가를 자르면?
그 단면은 3차원 도형이 나오겠지.
칼로 잘랐는데 자른 부분이 3차원인 그 무엇.
이것이 우리가 상상해볼 수 있는 4차원 도형의 특성 중 하나야.
*
이 외에도,
3차원 이상의 도형을 상상해볼 수 있는 다른 방식이 있어.
우리가 중학생 때 아무생각 없이 외워서 풀었던 방정식에도 고차원에 대한 개념이 녹아있으니까.
당연히 y=x는 직선이겠고,
y=x^2라는 것은,
x를 두번 곱한 것이니,
양변의 길이가 x인 정사각형의 너비를 구하는 것과 동일하지?
*
혹시,
이 공식은 어떻게 푸는지 기억해?
다들 외웠었지? (계수가 1, 2, 1 이라고 외웠지?)
그런데,
이게 뭘 하는 걸까?
*
바로, 2차원 도형의 너비를 구한 공식이야.
(x+a)를 두번 곱했으니,
한변의 길이가 (x+a)인 정사각형의 너비잖아?
*
그럼, 아래 식은?
이것도 푸는 방법을 열심히 외웠을 거야. (계수가 1, 3, 3, 1이라고 외웠고.)
이건, (x+a)를 세번 곱했으니까,
가로, 세로, 높이의 길이가 (x+a)인 상자의 부피야.
즉,
원래 가로, 세로, 높이의 길이가 x인 포장용기가 있었는데,
물건을 포장하려고 하니까 크기가 작네?
그래서,
가로, 세로, 높이의 길이를 a만큼씩 키웠을 때,
포장용기의 부피를 계산한 것이야.
*
근데,
고작 상자 크기 늘린 건데, 왜 이리 복잡하게 생겼지?
각 항을 하나씩 그려보면 딱히 복잡한 건 없어.
오히려 매우매우매우 당연해.
(출처: 3Blue1Brown 유튜브. 참고로 직접 도형 그리기가 힘들어서 이거로 대신했어. 이미지 상단의 수식은 무시해도 돼.)
위 그림에서 dx라고 나오는 걸 그냥 a만큼 늘린 것과 동일하다고 생각하면 돼.
원래 한변의 길이가 x인 상자가 있었는데,
그게 작아서 a만큼씩 길이를 늘렸다고 했지?
그랬더니 그만큼씩 덩치가 커졌어.
그럼,
원래 도형이었던 한 변의 길이가 x인 상자와
추가적으로 커진 부분들 모아보자.
이렇게 모아두고 보니,
이게 어떤 의미인지 보이지?
1항은 한변의 길이가 x인 오리지널 상자야.
2항은 길이를 a(또는 dx)만큼 늘렸을 때 생기는 넙적한 추가 부피 3개.
3항은 추가로 생기는 길쭉한 부피 3개.
4항은 추가로 생긴 작은 꼬다리 부피 1개.
*
이게 차원을 이해하는 것과 무슨 상관이냐?
*
먼저,
제일 쉬운 거.
우리는 한변의 길이가 x인 4차원 도형의 크기를 알 수 있어. (이미지를 그려볼 순 없겠지만)
x를 4번 곱하면 돼.
*
그런데,
이 4차원 포장용기에 물건을 담으려고 했더니 크기가 작아.
아무래도 각 변의 길이를 a씩 늘려야겠어.
그러면, 공식은 뻔하잖아?
그럼, 이걸 전개해보자.
이것도 다 외웠으니 할 줄 알아. (계수는 파스칼의 삼각형에 따라서 1, 4, 6, 4, 1 니까)
우리가 방금 한 게 뭐냐면,
한변의 길이가 x인 4차원 포장용기의 각 변마다 길이 a만큼씩 늘려서
더 커진 포장용기의 크기를 구했을 뿐만 아니라,
원래 포장용기에 추가적으로 늘어난 부분들까지 모아본 거야.
1항 = 각 변의 길이가 x인 4차원 포장용기.
2항 = 추가적으로 늘어난 용량 4ax^3
이걸 다르게 말하자면,
한 변의 길이가 x인 상자의 부피에다가 길이 a만큼 곱한 크기가 총 4개네?
(상자에다가 길이 a만큼 곱한다는 것이 무슨 느낌인지 그려지진 않지만...)
3항 = 한변의 길이가 a인 정사각형과 한변의 길이가 x인 정사각형을 서로 곱했고, 그게 총 6개네?
(정사각형과 정사각형을 곱한다는 게 무슨 느낌인지 그려지진 않지만...)
등등등
이렇게 쪼개서 보다보면,
그 이상의 차원의 도형도 수식에서나마 상상해볼 수 있어.
*
끝으로,
이 책을 소개하면서,
호기롭게 4가지 힘을 모두 커버하려고 하였으나,
막상 첫번째 최약체 힘인 중력만 이야기해도
이렇게 길어졌어.
실제로 읽어보면 얼마나 무궁무진하게 재밌는 이야기가 많을지 궁금해지지?
차근차근 읽어보면 정말 유익할 거야.
*
아!
다큐로도 있는데, 한글 번역본이 있는지는 정확히 모르겠어.
"과학책은 어렵다/재미없다/혐오스럽다" 라는 생각이 든다면,
먼저 다큐를 보면서 대략적인 감을 잡고,
책으로 넘어가는 것도 좋을 거야.
그럼, 다들 재밌게 다양한 분야의 독서를 즐기길 바랄게!
글 쓰느라 고생했구나
사천왕 어쩌고 하는 순간부터 읽지는 않았다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 하지만... 차근차근 보면 과학책도 재밌는걸...?
뇌터 정리 생각하면 토플로지보다는 회전 대칭성처럼 일반적인 아핀 변환 얘기하는 게 나았을 거 같긴 한데
사실 각운동량이니 보존량이니 설명쓰려다보니 현타와서 그냥 쿨하게 패스함