수학섬에 사는 븅신 수학퍼거 새끼들은 하루종일 숫자로 씹덕질이나 하면서 일생을 보내는 주제에 그 와중에 씹덕들 처녀 감별하듯이 무리수와 허수는 더럽다고 취급 안하는 걸 알 수 있음.

그리고 좆도 쓸모 없는 999는 존나 위대하다면서 빠는 정병사이코년 37은 그보다 몇천 배는 더 중요하고 흥미로운 상수인 e나 파이는 언급도 안하는 걸 보면 이새끼도 유니콘이나 다름이 없음.

하지만 한국에서 유니콘으로 살다간 평생 모솔아다로 뒤지기 딱 좋듯이, 이 수학퍼거 새끼들의 꿈과 같은 무리수와 허수 같은 더러운 수를 배제한 채 만든 정수론 역시 엉성하기 짝이 없음.

왜냐? 현대 정수론은 허수나 무리수의 도움 없이는 아예 발전 자체가 불가능하거든.


먼저 현대 정수론에 대해 설명하기 전에 잠시 이야기할 게 있다면, 정수론은 두 갈래로 나뉨.

초등적 정수론이라고 해서 이건 오로지 정수와 사칙연산 그리고 합동식이라 불리는 나머지만을 사용해 문제를 푸는 거임.

아마 정수론이라고 하면 일반적으로 떠오르는 이미지는 대부분 이러한 정수론일 거임.

저기 수학퍼거 새끼들처럼 무슨 정수로 퍼즐 놀이 하는 거 같은 수학 분야가 일반인들이 생각하는 정수론의 이미지임.

반면, 현대 정수론은 쓸 수 있는 현대 수학의 모든 도구들을 남김없이 다 써서 문제를 푸는 거임.

고등학교 수준에서 예를 들자면 초등적 정수론은 좌표평면 안 배운 중학교 수준으로 도형 문제를 푸는 거에 비유할 수 있고, 현대 정수론은 벡터나 좌표평면, 행렬, 미적분 같은 도구를 이용해 기하 문제를 푸는 거에 비유할 수 있음.

그니까 미적분 없이 도형의 넓이를 구하는 문제를 푼다고 생각해보셈.

와 이딴 병신새끼들이 어딨음?

그래서 당연히 초등적 정수론이 증명할 수 있는 부분은 현대 정수론에 비해 극히 한정적이라고 보면 됨.


이러한 현대 정수론은 다시 두 갈래로 나뉨.

하나는 해석적 정수론으로, 주로 우리가 알고 싶은 정보들(소인수의 개수, 서로소의 자연수의 개수)을 알려주는 함수를 정의한 뒤, 이 함수들을 이용해 문제를 푸는 거임.

왜 이런 식으로 푸냐고? 함수를 정의하면 엄청난 장점이 있거든.

바로 적분이랑 미분이 가능하다는 점임! 와 대박!

실제로 해석적 정수론은 보다 보면 내가 정수론을 하는지 아니면 그냥 해석학을 하는지 헷갈릴 정도임.

해석적 정수론의 가장 중요한 문제로는 당연 리만 가설이 있음.


(사실상 이 친구가 해석적 정수론의 시작이자 최종 보스라고 보면 됨.)


다른 하나는 대수적 정수론으로, 이건 주로 정수해를 구하는 방정식인 디오판토스 방정식을 풀 때 사용함.

대수적 정수론은 주로 대수학에서 활용되는 갈루아 이론을 이용하는 정수론인데, 어떤 정수론에서 정수의 성질을 어느 정도 보존하는 더 큰 정수를 정의해서 이 정수에서 문제를 푸는 방식을 취함.

대수적 정수론의 가장 대표적인 활용으로 페르마의 마지막 정리가 있음.

(대수적 정수론이 만들어지게 된 원흉이자 한 때 정수론의 최종보스였던 페르마의 마지막 정리. 이새끼 해결하려고 발달한 게 대수적 정수론임)


사실 수학에 대한 지식이 어느 정도 있는 사람들은 이 두가지만 슬쩍 들어도 이미 허수와 무리수가 왜 중요한지 알 거임.

하지만 문돌이들이 있을수도 있으니, 예시를 몇 개 들겠음.

먼저 해석적 정수론에서 가장 중요한 문제는 바로 소수의 개수임.

그리고 이 소수의 개수에 매우 중요한 역할을 한 게 바로 소수 정리와 리만 가설임.

리만 가설에 대한 설명은 매우 복잡하니 깔쌈하게 요약을 하자면, 대충 소수의 분포는 리만-제타 함수라는 함수의 근을 여차저차 조합해서 만들어 낼 수 있는데, 이 근의 실수부가 바로 1/2라는 거임.

근데 실수부라는 말이 뭔가 이상하지 않음? 그면 정수가 다 실수지 실수가 아닌 정수도 있음?

왜냐하면 리만-제타 함수의 정의역은 복소수이기 때문임.


(리만 제타 함수를 해석적 확장했을 경우의 그래프)


여기서 나오는 중요한 개념 중에 하나가 복소해석학에서 다루는 해석적 확장(analytic continuation)임.

이게 뭐냐면 간단하게 말해 어떤 함수가 특수한 조건을 만족하면, 이 함수의 정의역을 복소수로 확장해도 그 함수가 유일하게 결정된다는 거임.

근데 해석적 확장을 하면 뭐가 좋냐고?

복소해석학을 배운 사람이면 알겠지만, 복소적분을 이용하면 일반적인 방식으론 적분이 불가능한 함수를 손쉽게 적분할 수 있음.

이러한 복소함수의 특징을 이용해서 문제를 풀어나가는 방식이 해석적 정수론에는 매우 자주 쓰임.

그리고 그 대표적인 예시가 바로 리만 가설이고.

이처럼 해석적 정수론에서는 복소수가 매우 중요한 방법론으로 사용이 됨.


그렇다면 해석적 정수론에서는 복소함수를 이용한 적분이 중요해서 쓰인다고 치면, 대수적 정수론에서는 대체 왜 복소수가 쓰일까?

아까 대수적 정수론의 방법론 중 하나가 정수를 확장해서 거기서 정보를 알아낸 다음 다시 그 정보를 보존해서 정수로 가지고 오는 방식을 쓴다고 했지?

바로 이 확장할 때 자주 쓰이는 게 허수 i 혹은 삼중근 w이기 때문임.

대표적으로 a+bi(a,b는 정수) 꼴로 나오는 가우스 정수와, a+bw(a,b는 정수, w는 x^3=1의 허근) 꼴로 나오는 아이젠슈타인 정수가 있음.

이딴 걸 정의해서 어디서 쓰냐고 물을 수 있는데, 아이젠슈타인 정수를 활용하면 n=3일 때 페르마의 마지막 정리를 손쉽게 증명할 수 있음.

이처럼 원래는 인수분해가 불가능한 디오판토스 방정식에 허수를 이용해 어거지로 인수분해를 시킨 뒤, 이렇게 인수분해된 방정식을 메챠쿠챠해서 문제를 푸는 방식이 많이 사용됨.


결론


현대 정수론은 예전 피타고라스 학파 시절과는 상상도 할 수 없을 정도로 다양한 방식을 활용하고 있으며, 이를 통해 도저히 불가능해 보이는 것들을 증명해내고 있음.

그리고 그 과정에서 현대 수학이 발견해낸 수많은 도구들을 사용하고 있고그 도구 중 가장 유용하고 자주 쓰이는 도구가 바로 복소수임.

현대 정수론은 다양한 복소수의 성질을 활용해 정수론에서 매우 다양한 문제를 해결해가고 있음.

당장 정수론에서 가장 중요하고 엄청난 발전을 이끌어낸 두 난제인 리만 가설과 페르마의 마지막 정리 둘 다 복소수가 굉장히 중요한 열쇠로 작용하고 있는 걸 볼 수 있음.

역겨운 무리수와 허수를 배제하고 싶다는 처녀충과 같은 음습한 욕망을 가진 수학퍼거 새끼들에겐 슬픈 소리지만, 이미 정수론은 무리수와 허수들에게 메챠쿠챠 당해 알아볼 수 없을 정도로 타락해버린 거임.


세줄요약


1. 수학퍼거 병신들과는 달리, 허수와 무리수는 정수론에 존나 자주 쓰인다.

2. 37이는 유니콘이다.

3. 소네트가 뒤지기 직전에도 덤덤하던 버틴이 슈나이더 얘기만 나오자 얼굴이 벌게지는 걸 보면 누가 정실인지는 확실하다.