[일반] 37 일화에 나온 십이각별과 슐레플리 기호에 대해(장문)

[익명(180.67)]

예전에 CPT 대칭에 대해 글썼던 릾붕이임

https://gall.dcinside.com/m/reverse1999/402904

념글에 언급된 이번 출석문구

이번에 말할건 37의 일화에 나왔던 "슐레플리 기호"임

저번엔 제목에 쉽다고 적어놓고 적어보니 좀 안 쉬웠던 것 같은데...ㅋㅋㅋㅋ

이번엔 진짜 진짜 쉬움. 도형, 특히 정XXX에 대해 말하니 좀 직관적임

애초에 나도 이건 비전공자로서 알 수 있는 지식이 많지 않고

우리나라에 시발 번역도 존나 잘 안돼있어서 더 잘 모름

믿고 출발해봐

아 근데 공간지각능력은 좀 필요할수도 있음

정 어려우면 4차원부분은 그냥 건너뛰셈

1. 도형의 이름

슐레플리 기호란 쉽게 말하자면 도형을 숫자와 기호로 나타낸거임

이 말을 보면 비전공자들은 대부분 이런 생각을 할 거임

'.... 이름을 놔두고 대체 왜 굳이....?'

물론 수학자들도 할 거 없는 백수거나 숫자와 기호화에 강한 집착을 느끼는 이상성욕자들이라 이러는건 아니고

다 어느 정도 쓸모가 있었으니 이런 시도를 한 거임

우리가 평면 도형은 정삼각형, 정사각형...

입체 도형은 정사면체, 정육면체...

이런 식으로 이름으로 말하잖음

근데 평면도형까진 괜찮은데 입체도형부터는

이름으로 모양이 상상이 안감

우리야 미리 배웠으니 어떤 모양인지 알긴 하지만

정사면체<- 이새끼가 이름만 봐서는 면이 어떤 도형인지, 꼭짓점 모양이 어떤지 이름으로 알 수가 없음

면이 네개인건 알겠는데 그게 뭐가 어떻게 모여서 네개인건데?

모양만 봐도 정4면체면서 전혀 4스럽지 않잖음

사실 우리가 다면체의 이름을 모든 면의 개수로 붙였지만

정다면체의 "모든" 면에는 별 관심이 없음

어차피 "정"다면체니까

그냥 한 부분의 특성만 알고

그게 반복된다고만 생각하면 되잖음?

우리가 도형을 인식할 때도 그럼

위의 정십이면체를 보고

"정오각형으로 만들었네"가 눈에 제일 먼저 들어오고

"한 꼭짓점에 면이 세개 모였네"가 그 다음이지

"음 한 눈에 봐도 면이 12개군" 이지랄하진 않잖음

그래서 우리는 도형의 일부분에 대한 정보를 담아서

그걸 도형을 대표하는 기호로 쓰고자 하는 거임

2. 슐레플리 기호

그래서 수학자들은 꼭짓점의 정보를 나타내도록 기호를 약속함

방식은 간단함

일단 중괄호 안에 뭔갈 넣어서 표시할거임

일단 1차원 도형인 그냥 선분은 {}로 표기함

2차원 도형도 간단함

삼각형은 {3}, 사각형은 {4}, 오각형은{5}

이렇게 표기할거임

여기까지만 보면 뭔 지랄인가 싶지

그래도 3차원부턴 쓸모가 있음

위의 정십이면체는 정오각형을 한 꼭짓점에 삼각형 모양으로 붙여 만든 도형이잖음?

그래서 {5,3}이라고 표기함

왠지는 모르겠지만 콤마 이후에 띄어쓰기 안하드라

마찬가지로 정사면체는 {3,3}, 정육면체는 {4,3}

이렇게 표기하면 원래 이름보다는 대충 어떤 모양일지 예상이 가지?

규칙성이 있으니 더 높은 차원에도 적용할 수 있음

가장 대표적인 4차원 도형인 테서렉트는

정육면체{4,3}이 한 모서리에 3개 모이니까

{4,3,3}임

...?

왜 한 꼭짓점에 정육면체가 몇개 모이는지가 아니라

한 모서리에 정육면체가 몇개 모이는지를 보냐고?

몇가지 이유가 있는데

일단 규칙의 일관성과 확장성 때문임

테서렉트가 한 꼭짓점에 {4,3}이 4개 모였다고 {4,3,4}가 된다면

애초에 모든 다각형도 한 꼭짓점에 선분{}이 2개 모였으니 {2}가 됐어야 함

그니까 애초에 숫자가 추가되는 규칙이 꼭짓점에 모인 개수가 아니었단 거임

그러니 우리는 규칙을 일관적이게 되도록 다시 세워야함

두가지 해석이 있는데

n차원 도형 {p,q,r,...,s,t}는

1. n-1차원 도형 {p,q,r,...,s}가 n-3차원 가장자리(입체(3)에는 점(0), 초입체(4)에는 모서리(1))에 t개 모인 형태

라고 존나 짜치게 해석하거나

2. 꼭짓점 형태가 {q,r,...s,t}인데 구성하는 면이{p}인 형태

라고 해석함

난 개인적으로 2번이 더 좋음. 솔직히 우리가 3차원인데 n-3은 너무 크게 빼잖아

여기서 말하는 "꼭짓점 형태"란 쉽게 말하자면 꼭짓점 근처에서 자른 단면임

정오각형은 정오각형{5}을 선분{}처럼 모아뒀으니까 {5}

정십이면체는 정오각형{5}을 삼각형{3}처럼 모았으니까 {5,3}

테서랙트는 좀 안보이긴 한데 대충 저렇게 주변 모든 모서리에 단면(?)의 꼭짓점이 있을거라 생각하면

정사각형{4}을 정사면체{3,3}처럼 모아뒀으니까 {4,3,3}

...쉽지?

어려우면 그냥 4차원 버려두고 생각해도 됨

그냥 {p,q}면 한 꼭짓점에 정p각형이 q각형처럼 모여있구나~ 생각하면 됨

이렇게 약속해 놓으면

도형 {p,q,r}의 쌍대는 그걸 뒤집은 {r,q,p}라는 식으로

여러 유용한 성질도 있긴 한데 더 말하면 복잡하니 넘어갈게

3. 근데 정XXX가 뭐더라?

정다각형의 정의를 말해보라 하면 보통

"같은 길이의 선분이 같은 각으로 만나는 도형"

정다면체의 정의를 말해보라 하면

"같은 크기의 정다각형으로 같은 형태의 꼭짓점을 만든 도형"

이라고 설명할거임

근데 이 수학자들은

마치 들어가지 말라 했으니 문을 여는건 괜찮다는 버틴처럼

규칙을 만족하긴 하는데 뭔가 아닌 것 같은걸 해보는 취미가 있음

야 그럼 이것도 정다각형 아니냐?

같은 크기의 선분 5개가 일정한 36도의 각도로 만나고 있잖아

그럼 이것도 정다면체 아니냐?

정오각형으로 만들었고 꼭짓점 구성이 다 같은데?

...이럴 때 보통 초등학교에선

"통과하는건 예쁘지 않으니까 아니에요~"로 끝낼테지만

솔직히 쟤네들도 존나 이쁘게 생겼잖아

그래서 수학자들은 저것도 정다각형, 정다면체로 인정하고

저걸 표기할 방법을 찾음

일단 저 정오각별을 어떻게 이름을 붙일까?

우리가 정다각형을 만들 때 어떻게 만드는가 상상해 보셈

1. 같은 길이의 변을

2. 같은 각도만큼 반복해서 꺾어 붙여 만들잖음?

자 근데 그 꺾는 정도가 어떻게 정해지냐

초등학생 때 "모든 다각형의 외각의 합은 360도"라는걸 배웠을 거임

그 이유는 생각보다 간단함

저런 식으로 도형을 만든다고 생각했을 때

제자리로 돌아오려면 무조건 "한바퀴"를 돌아야 하니까

저 도는 각도들을 합하면 한바퀴인 360도인거임

그래서 정 n각형의 외각은 360º/n임

내각은 180º-360º/n이고

그러면 그냥 n다각형이 {n}이라는게

변이나 각이 n개라 {n}이라 말하는게 아니라

저 돌아가는 각도가 (180º-)360º/n이면 {n}이라고 표현한다고 정의하는게 어떨까?

우리가 정다면체의 모든 면 개수에 대해 관심이 없던 것 처럼

정다각형도 모든 변 개수가 아니라 꼭짓점 형태로 이름을 짓는거지

그럼 우린 저런 별모양도 돌아가는 각도를 아니까

우리는 이름을 붙이고 슐레플리 기호로 표기할 수 있음

얘는 내각이 36도니까

저기 내각 식에 넣으면 n = 5/2여야함

즉 우리는 얘를 {5/2}로 표기할 수 있고

좀 과장하자면 정5/2각형이라고 말할 수 있음

그리고 이런 분수정다각형들은 꽤 재밌는 성질이 있음

일단 참고로 위에 보이는 놈들은 각각 {7/2}와 {7/3}임

우리가 아는 정다각형들은 모두 원에 내접시킬 수 있잖음?

꼭짓점을 원 둘레에 표시하면 둘레를 n등분한 곳에 점이 찍히고.

근데 이렇게 n개의 점을 찍었을 때

한칸 옆의 점과 선분을 이으면 n/1 = n각형이 나오고

두칸 옆의 점과 선분을 이으면 n/2각형이 나옴

세칸 옆의 점과 선분을 이으면 n/3각형이 나옴!

즉 원 위의 n개의 점을 m칸 건너씩 이어주면 {n/m}임!

그래서 그림의 {7/2}와 {7/3}은 꼭짓점 위치는 같은데 잇는 선분이 각각 2칸짜리와 3칸짜리로만 다름

그리고 더 재미있는건 약분도 눈에 보인다는 거임

얘네들은 아까 말한 몇칸짜리인지 따지는 규칙에 의하면

각각 6/2, 8/2, 9/3임

근데 다 약분이 되는 분수잖아?

약분하면 각각 3, 4, 3인데

그림에서도 진짜 삼각형과 사각형이 그냥 여러개 겹쳐있는게 보임

그래서 이런 놈들은 그냥 도형 여러개를 겹친거지 한 도형이 아니라고 말하는 관점이 지배적임

그치만 굳이 표현하자면 {6/2}, {8/2}, {9/3}이라고 적어도 문제는 아니지?

그리고 이런 관점으로 보면

정 n각형으로 만들 수 있는 별의 종류는 n/2에서 한 두개 뺀거라는걸 알 수 있음

5/2나 5/3이나 만드는 방향이 반대지 모양은 같으니까

 

다시 리버스로 돌아와서

그림과 밑에 적힌 기호를 보면

37이 무슨 말을 하는 건지 눈에 보이지?

특히 12는 약수가 드럽게 많은 숫자라

12/2, 12/3, 12/4가 다 약분되어버림

그래서 이 중에서 하나의 도형으로만 이루어진 놈들을 찾으라면

{12}와 {12/5} 두개 뿐임

나머지는 그냥 정다각형 여러개 모아서 별처럼 그린 거고

그래서 37은 다른 별들은 마도학자, {12}만 인간인 에즈라라고 말했지만

나는 {12}와 {12/5}가 진짜 동류라고 보임

메포와 에즈라가 각각 중성과 보추니까 맞는것 같기도

아 그리고 아까 보여준 얘는 {5}가 {5/2}형태로 모여있으니까

{5,5/2}로 표기함

원래 이름은 뭐냐고?

"큰 십이면체"...

4. 확장

자 슐레플리 기호는

꼭짓점의 구성을 던져주고

그냥 그걸 맞물릴 때까지 계속 반복하라는걸 알려주잖음?

이 "반복"이 몇번 해야하는지 정해져있지 않기때문에

평면을 어떤 도형으로 무한히 반복해서 채우는

"테셀레이션"을 이 슐레플리 기호로 나타낼 수 있음

{6}을 세개 모으는걸 반복하면 {6,3}

{4}를 네개 모으는걸 반복하면 {4,4} 이런 식으로

그리고 테셀레이션도 정다각형으로 만들었고 꼭짓점 구성이 일정하니

엄밀히 말하면 얘도 정다면체임 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

그리고 음의 정다각형이란 것도 있는데

별건 아니고 그냥 반대방향으로 만들었단 거임

그니까 얘가 정오각형이면

얘는 음의 정오각형임

근데 아까 n/m각형에 대해 말할 때를 생각해보면

얘는 5개 점을 4칸 띄어서 이은거랑 같으니

얘는 따지고보면 {5/4}로 표현가능함

왜 이딴짓을 하냐고?

얘는 또 지랄맞은 이름을 가진 "사면반육면체"라고 하는데

보는거 처럼 정삼각형과 정사각형을 꼬아서 붙인거라 정다면체는 아님

근데 꼭짓점 구성을 말해야 할 때

얘가 {3},{4},{3},{4}순서로 모여있어요~라고하면

진짜 {3},{4},{3},{4}로 모여 있는 육팔면체랑 구분이 안 감

얘가 육팔면체

그래서 사면반육면체의 면을 말할 때

삼각형, 사각형, 그리고 반대방향의 삼각형, 사각형으로 만들었다고 해서

얘의 꼭짓점 구성이 3 4 3/2 4로 이루어져 있다고 말함

이런 식으로 우리는 아무리 괴상한 이름의 도형을 만나도

어우 

이런 식으로 꼭짓점 구성을 적어놓으면

아 사각형에 오망성을 뒤틀어서 붙이고 다시 사각형 삼각형 사각형 오망성 사각형에 또 삼각형을 뒤틀어서 붙이면 만들어지는 도형이구나! 를 알수 있음

솔직히 봐도 잘 모르겠지만 아무튼 알 수 있음

알,,, 수 있음....

이름은 진짜 지랄난거 보면 저런 기호화가 왜 필요한지 실감할거임

그리고 정다면체들을 깎거나 부풀리거나 "다듬으"면

비슷하게 정다각형으로 구성되고 꼭짓점 형태가 일정하지만

두종류 이상의 정다각형으로 만들어진 뭔가 이쁜 도형들이 나옴

이런 애들은 슐레플리 기호로 표현할 수 있는 정다면체들에

뭔가 변환을 해서 만든 거니까

그 기본이 되는 도형 옆에 변환을 했다는 표시를 붙여서 표현함

조금 깎기는 t, 모서리 이등분점까지 푹 깎는건 r, "다듬기"는 s로

깎은 정육면체는 t{4,3} 이런 식으로 표현함

이런식으로 뭔가 연산을 정의해두면

각기둥이나 각뿔도 슐레플리 기호로 표현할 수 있음

근데 그건 너무 딥하니 여기까지 하는거로

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나는 이런걸 처음 찾아봤던게 아마 중학생떄쯤? 10년도 더 전인데

그땐 뭐 영어를 아는것도 아니고 번역기가 좋은것도 아니고

우리나라에 이런게 번역이 시발 잘 되어있는 것도 아니고

뭔가 여러모로 찾아보고 싶었지만 진짜 찾기가 어려웠었음

그래도 이제는 세월이 지났으니 누군가 잘 번역해서 정리하지 않았을까 싶었는데

나무위키랑 위키피디아 말고는 딱히 뭐 없고

심지어 그것도 번역 안된게 너무 많아서 크게 달라지지 않았더라

그냥 영문 위키피디아밖에 믿을게 없었음...

그러니 혹시 이거 전공자인 릾붕이가 있다면

어서 체계적으로 번역해 나무위키라도 작성하도록

https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3572536&cid=58944&categoryId=58970

오목 정다각형

이건 내가 생에 처음 이런게 있다고 인지했던 글

https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000000829648

플라톤과 아르키메데스 입체 | 다우드 서턴 - 교보문고

그때쯤 도서관에서 빌려서 재밌게 읽었던 책

엄청 얇고 작음

https://youtu.be/_hjRvZYkAgA

이건 정다면체에 대해 재밌게 본 영상

한글자막 잘 돼있음

ㅇ아니 근데 곱셈축이라는 말을 처음 봐서 뭔가 했는데

저거 진짜 곱셈축이라고 번역함?

"로그스케일로 그린 하루"정도로 번역되지 않음?

생전 처음들어봄 ㄹㅇ

[ㅇㅇ 1(1.238)]

뭐야 왜 마지막 영상 이후부분 짤렸어

[ㅇㅇ 1(1.238)]

수정 끝

[겜안분(ankle0358)]

이거참ㅋㅋ 읽다보니 제안에 해면체가 반응했습니다 이거 ㅋㅋ - dc App

[초코바나나우유(rf0smqarwzxi)]

님

[글쓴 ㅇㅇ(180.67)]

{7/3} 꼴리지 않냐

[초코바나나우유(rf0smqarwzxi)]

공대남 이 미친놈들

[초코바나나우유(rf0smqarwzxi)]

근데 나도 공대 복수전공이긴 함 ㅋㅋ

[글쓴 ㅇㅇ(180.67)]

진짜 미친건 이과대 놈들이니 이대남이 미친거로 하자(?)

[초코바나나우유(rf0smqarwzxi)]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[타슈테고(student2215)]

[버틴탈주기원(rmmk2pr8zk4s)]

되게 신기하고 재밌네

[ㅇㅇ 1(1.238)]

대칭과 기호화는 이과들의 마음을 자극하지

[밋사키(weaken1684)]

설명 엄청 잘한다 ㄷㄷ.. 수학 엄청 못했는데도 이해가 되네

[ㅇㅇ 1(1.238)]

이해가 잘됐다니 진짜 다행이다

[밋사키(weaken1684)]

재밌게 잘 읽었어요!

[Siamese(sa05069)]

[익명(member7617)]

뜌땨...

[잔망스러워(express1795)]

야 쉽다매 - dc App

[ㅇㅇ 1(1.238)]

ㅋㅋㅋㅋㅋ 다음 글은 더 쉽게 적어볼게

[나비혼(lnd9xt34s37f)]

어음......

[나비혼(lnd9xt34s37f)]

[익명(112.133)]

릾갤 검산자 ㄷㄷㄷ

[ㅇㅇ 1(1.238)]

어 옷이 왜 검어지지

[Westeria(1kutqqglmqz4)]

오... 갑자기 내면에 있던 본능이 이끌리고 있어 이미 알고 있던 내용이더라도 설명을 되게 잘 했네 그리고 메포와 에즈라에 대한 너의 해석도 틀린말은 아닌거 같아 웃자고 한 말일순 있는데, 나도 메포와 에즈라가 동류라고 볼 수 있는 암묵적인 표시일 수 도 있다고 생각하거든 아무튼 오랜만에 각형들 구조랑 차원 이야기 나오니 흥분이 되는구나 5차원 체스나 두러 가야지 - dc App

[ㅇㅇ 1(1.238)]

큰뒤집힌다듬은십이이십면체 <- 이름만 봐도 흥분됨

[익명(confess9777)]

이해가쏙쏙 - dc App

[LittleIceAge(littleiceage)]

[ㅇㅇ 1(1.238)]

크아악 37의 {6/2}공격이다

[낚지(chris45491942)]

[지나가던이과(theoryoeverything)]

너? 재능있어. 너? 계속 정보글 써. - dc App

[ㅇㅇ 1(1.238)]

ㄱㅅㄱㅅ

[지나가던이과(theoryoeverything)]

진짜 쉽게 잘 설명함 ㅇㅇ - dc App

[지유(saedalsyu)]

왜 한국어인데 읽을수가 없는거야 - dc App

[카레링(zkfpfld)]

릾갤의 37 ㄷㄷ

[익명(justincasefor)]

으아악 흐아아악

[익명(justincasefor)]

설명은 재미있고 쉽게 잘하네 내가 모르는 분야라 그렇지...

[익명(kd6jgr3nxjx5)]

고마워 잘 읽었어

[lt_strelok(7d45eo3coud2)]

정말 흥미롭고 재밌는데 중간에 한 번 기절함...수학이 약점이얏 아앙

[세상에(matsurihime)]

이해가 쏙쏙되잔아

[C7a1(rtrc7a1)]

개추