[시리즈] 리버스 1999 이공계 TMI
· 념글에 언급된 이번 출석문구 "CPT 대칭"에 관해(쉬움)(장문)
· 37 일화에 나온 십이각별과 슐레플리 기호에 대해(장문)


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거의 반년만에 쓰는 분석글이네

막학기라 시간이 개빨리 지나감


하 원래는 알레프 분석글 첫문단 쓰고있었는데

딴거 하느라 블루스크린 떠가지고 날려버림

그래서 출석문구 재밌는거 뜬 김에 이거 관련해서 써봄




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다른 릾붕이가 써준 분석글에도 잘 설명되어 있지만

이번 출석문구를  간단히 설명하자면

"하이젠베르크가 양자역학에 어떤 이론을 가져왔고, 그게 혼돈 연구에 도움이 됐구나"

정도로 표현할 수 있음


여기서 말하는 로렌츠는 카오스 이론의 창시자 로렌츠인지, 리버스의 로렌츠 연구소인지는 모르겠지만

뭐... 둘중 어디든 뭔가 혼돈스러움에 영향을 줬다는 것만 알면 됨


이 하이젠베르크가 발표한 이론이 대충 어떤 건지, 왜 혼돈과 관련이 있는지

최대한 쉽게 풀어서 설명해 보겠음

늘 그렇듯이 설명을 위한 왜곡과 날조가 들어갈 것임


최대한... 수학을 거의 모르는 사람도 이해 할 수 있게 노력은 해봄....




1. 행렬역학


출석문구에 나온 논문에서

하이젠베르크가 가져왔다는 이론은 바로 행렬역학임


이게 뭔지는... 참 설명하기 까다로운데


행렬역학 이전에는

그 유명한 "슈뢰딩거 방정식"이 있었음


이건 양자역학을 미분방정식으로 기술한 방정식임.


근데 하이젠베르크가 가져온 행렬역학은

쉽게 말하자면 양자역학을 행렬과 벡터 사이의 계산으로 표현한 것임


행렬이 뭐냐고?



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이렇게 숫자를 나열해놓은거

사각형으로 나열하면 행렬이고

한줄로 나열하면 벡터임


비전공자도 지나가다 실수로 본 적이 있을거임

대체 뭐 어떻게 계산하는지 안 배운 사람은 감도 안오는 그런게 행렬임.

당연히 계산법은 구체적으로는 설명 안할거임...

그냥 숫자를 어마무시하게 나열해놓은 것으로 계산을 한다.. 정도로만 알고


어떤 행렬이 잘 정해지면 그 행렬의 고유벡터와 고유값이라는게 정해진다고 알고 있으면 됨



다시 본론으로 돌아와서,

하이젠베르크가 행렬역학을 발표한 후

행렬역학과 기존의 슈뢰딩거 방정식이 완전히 동등하다는게 증명됨


이 행렬역학이라는게 도대체 뭐길래

양자역학을 기깔나게 기술할 수 있냐, 


진짜 최대한 계산이나 수학을 다 빼고 설명해 보겠음


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물리학자들이 어떤 시스템의 물리량을 측정하는것.

예를 들면 원자에 있는 전자의 에너지를 측정하는걸 비유하자면


어떤 상자 안에서 애기들이 모래놀이를 하고 있고

너가 모래상자 전체의 형태를 보고 이 모래상자에 예술점수를 부여하는 거라 생각하면 됨.


근데 모래라는 재질의 한계때문에

만들 수 있는 모양엔 한계가 있을 거임


뭐 구멍을 뚫지는 못한다던가, 어느 각도 이상으로 가파르게 쌓지 못한다던가


그리고 모래 자체의 특성 말고 

외부적인 요인으로도 놀이에 제한사항이 생길 것임


모래의 양이 정해져 있어 커다란걸 만들지 못한다던가

상자 밖으로 나가지 못한다던가

뭐 어디 아래에 구멍이 뚫려있어서 그 위치엔 모래를 둘 수 없다던가


그래서 결과적으로는 만들 수 있는 구조물의 목록이 정해져 있음


그래서 넌 구조물별 예술점수가 정해져 있는 표를 가지고

이 모래상자의 예술점수를 메길 수 있을거임.


모래성이 10점, 모래산이 5점, 평지가 0점... 이런 식으로



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고전물리학의 거시세계에서는

물체는 한번에 하나의 상태밖에 가지지 못했음

즉 한 모래상자 안에 하나의 구조물만 있었음.


그래서 넌 그 모래상자의 점수를 쉽게 말할 수 있었음.



근데 양자역학에서는 시스템이 여러 상태의 중첩으로 나타남.

확률적으로 어떤 상태가 나올 수 있고, 다른 상태가 나올 수도 있음.


비유하자면 그러니까... 모래상자안에 구조물이 여러개 있음.


근데 전체 모래 양이 정해져 있으니 각각의 구조물들은 크기가 작음

그래서 만약 너가 예술점수를 매긴다면

그 크기까지 고려해서 점수를 매기는게 합리적일거임.


모래 0.2 정도는 모래성 A를 만들었고, 0.5 정도는 모래산 B를 만들었고, 나머지 0.3 정도는 평지로 만들었다....면

0.2*10 + 0.5*5 + 0.3*0 = 4.5점의 예술점수를 줄 것임.




여기서 전체 모래 분포가 시스템의 파동함수 벡터 ψ

너가 갖고있는 구조물별 점수표가 연산자(헤밀토니안 등) 행렬

각 구조물이 그 행렬의 고유벡터=고유상태

표의 점수가 그 행렬의 고유값이며 측정된 물리량(에너지, 운동량, 위치 등)

구조물들의 크기(사용한 모래 비율)가 그 물리량(에너지 등)이 그 고유값으로 측정될 확률

크기까지 고려한 전체 계산 합산 점수가 측정된 물리량(에너지 등)의 평균임



모래와 상자의 특성(미분방정식과 경계조건)이 정해지면

점수표(연산자)가 결정이 되고

점수표에 내재되어있는 가능한 구조물(고유벡터)과 그 점수(고유값)을 알 수 있으며

이를 통해 전체 모래 상자 분포(파동함수)를 구조물들의 합산(고유상태의 선형결합)으로 분석하는게

행렬역학에서 하는 것임



실제 측정에서는 한번에 하나의 상태만이 측정된다는게 이 비유와는 다르긴 하지만

뭐 어쩌겠음 ㅅㅂ 미분방정식 부분 빼내느라 글 세번 갈아엎었음 



아무튼 여기서 중요한건

어떤 물리량의 측정이 행렬역학에서는 특정한 행렬로 표현된다는 거임

앞에서 설명한거 다 버리더라도 이 부분을 알고 있으면 됨








2. 불확정성 원리



그리고 연산자 행렬의 고유값이

실제로 측정되는 물리량이라는걸 생각하면


우리가 관심있어하는 대부분의 물리량의 연산자는

실수 고유값을 가져야 한다는걸 알 수 있음

우리가 뭐 측정할때 허수가 나오진 않잖아


당연히 아무 행렬이나 이러진 않고

이런 행렬을 에르미트(허미시안) 연산자라고 함


정확한 정의는 좀 다르긴 한데 일단 그렇게 알고 있으면 됨


근데 이런 연산자들의 특징과, 코시-슈바르츠 부등식이라는 아주 근본적인 부등식을 결합하면


한 시스템에 대해 서로 다른 물리량(예: 위치와 운동량)을 동시에 측정할 때

각 물리량들의 연산자를 A, B라고 하면


그 물리량들이 얼마나 부정확하게 측정이 되냐는 정도의 곱

그러니까 물리량들의 표준편차의 곱이 AB-BA 이상이라고 나옴


엥 그거 당연히 0 아니냐라고 할 수가 있을텐데

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행렬곱의 이 괴랄하고 멋진 정의때문에

행렬에서는 AB와 BA가 보통 다름...


즉 AB-BA=0이 아닌 모든 물리량에 대해

두 물리량을 동시에 측정하면

한쪽을 정확하게 측정할 때 다른 한쪽은 부정확해진다는 얘기임.


특히 위치 연산자와 운동량 연산자, 시간 연산자와 에너지 연산자 등

어떤 특정한 물리량 쌍에 대해서는

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이런 특정한 상수로 유도가 됨.

아마 이런 식을 더 많이 봤을 것임.


이게 행렬은 AB와 BA가 다르다는게 너무 당연해서

하이젠베르크의 행렬역학에서는 아주 자연스럽게 도출이 되기 때문에

이 논문이 로렌츠의 혼돈 연구에 이론적 기초를 제공했다는 것임


세상에 그 무엇도 정확하게 측정할 수 없으니까.




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아 참고로 불확정성 원리가 발생하는 이유가

"정확한 측정을 위해서는 높은 에너지가 필요해서 입자의 상태가 크게 달라져 다른 물리량을 정확히 측정할 수 없다"

라는 이유로 알고있다면 그건 틀린거임


이게 굉장히 널리 퍼진 오개념이고, 심지어 하이젠베르크 자신도 이런 비유를 쓴 적이 있어서 더욱 그런데


실제로는 측정과 상관없이 입자 자체가 갖고 있는 근본적인 특성임

에너지가 안 드는 측정방법도 있는 마당에...







3. 양자요동


내가 불확정성 원리의 부가효과중 가장 좋아하는게 바로 양자요동임


불확정성 원리때문에 에너지-시간의 쌍도 동시에 정확하게 측정을 하지 못함.

즉 짧은(정확한)시간동안은 에너지가 커질(부정확할)수 있다는 거임


쉽게 말하자면 에너지가 가불이 가능함.

불확정성 원리가 허용하는 짧은 시간동안은 높은 에너지, 즉 많은 질량의 입자가 나타날 수 있음


잠깐동안은 에너지 보존 법칙이 깨질 수 있다는 거임


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그래서 양자역학에서는

"완벽한 진공"이란 존재할 수 없음.


아무리 입자를 빼내더라도 잠깐동안 생겼다가 사라지는 입자를 막을 순 없기 때문임.


이 입자들은 정말 잠깐 생성되지만

이 입자들이 "존재했었다"는 흔적은 측정이 될 정도로 유의미한 영향을 줌.




일각에서는 이게 우주가 시작한 원리가 될 수도 있다고도 함


빅뱅 이전의 상태에 대해서는 아직 확정된 가설이 없는데

"도대체 아무것도 없는 상태에서 어떻게 우주라는 거대한 구조가 발생할 수 있는가"

를 설명하는게 일종의 숙제였음


無에서 에너지가, 그것도 우주 전체에 맞먹는 에너지가 뿅하고 생기는게 어떻게 가능함


그래서 그걸 설명하는 방법중 하나가 이 양자요동이 될수도 있다는 얘기임


물론 우리우주의 양자요동 자체가 답이되진 못함.

불확정성 원리 자체가 우리우주의 상수들에 의존적이고

에너지가 이리 크면 정말 상상도 못할, 수학적으로 의미도 없을 정도의 찰나에 밖에 있을수가 없지.


그래도 완전히 같은 이론은 아니더라도 비슷한 원리로 설명이 가능하지 않을까... 라는 내용임




그리고 만약, 우리 우주의 플랑크 상수가 지금보다 크다면

우리우주는 정말 부정확하고 에너지 보존 법칙이 완전히 개소리인

그런 우주가 되지 않을까 하는 상상도 해볼수가 있음




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여기까지가 이번 글에 준비한 내용임

이게 그래도 한번 정식으로 배운 내용이다 보니까

오히려 비전공자용으로 설명하기가 너무 힘들더라


행렬을 설명하는거야 둘째치고

미분방정식의 일반해와 경계조건을 설명하지 않고 양자역학을 말하라는게 ㅋㅋㅋㅋㅋ

너무 어려웠음


지금 당연하다고 생각한게 대학에서 가르치는 내용이면 그건 비전공자한텐 당연한게 아니거든 


그래서 최대한 수학을 뺀다고 뺐는데

오히려 너무 뜬구름잡는 얘기가 되지 않았을까 걱정이 되네

알거라 생각하고 생략한 부분이 생각보다 중요한 부분일수도 있고...


그래도 조금이라도 이해에 도움이 되고 흥미가 갔다면

유튜브에 좋은 영상들 많으니까 한번 찾아보는 계기가 됐으면 좋겠음







덤)


하이젠베르크는 독일인으로

미국의 맨해튼 프로젝트의 나치버전인

우란프로옉트라는 핵계발 프로젝트의 대표적인 과학자였음


근데 하이젠베르크는 이 핵계발에서 가능한 실수란 실수는 다 저질렀고

우란프로옉트는 실패하게 됨


이에 대해 하이젠베르크가 나치가 싫어서 고의로 방해했다는 설과

진짜 무능력해서 그랬다는 설이 있음 ㅋㅋㅋㅋㅋ

진실이 어찌 되었든 하이젠베르크의 나치 부역 혐의는 무죄가 되었음