이번 정보글의 주제는

다음 버전 웹이벤트에서 히사베스가 말한

"푸앵카레 재귀"임


대부분의 릾붕이들은

'어휴 이과놈들 또 지들만 아는 얘기 하네'

하고 그냥 넘겼을 테지만

혹시나 궁금했을 사람을 위해 글을 써왔음


대체 푸앵카레 재귀가 뭐길래 우주가 외롭지 않다는 걸까?


이번 글은 시리즈 글중에 제일 쉬움




1. 푸앵카레 재귀정리



일단 정의를 찾아보기 위해 위키백과에 검색해보자


참고로 밀레니엄 문제로 유명한 "푸앵카레의 추측"과는 상관없으니 조심해서 검색해보자



측도가 뭔지는 몰라도 대충 뭐 잘 정의된 집합과 함수에 대한 내용이라는건 알 수 있을거임


정확한 내용은 두가지 버전이 있다고 하는데...



...일단 두번째 판본은 우리가 건들건 아닌 것 같음






첫번째 판본은 그래도 수식이 고등학교 수준이라 이해할 시도는 할 수 있어보임

일단 링크가 한 단어밖에 없고 각주가 없다는게 그걸 증명함


자 그래서 이게 무슨말이냐

위의 수식을 좀 더 엄밀하지 않게 설명하자면

"E의 원소를 계속 함수 f에 넣다보면 100% 확률로 언젠가는 E의 원소로 돌아옴"


좀 더 친근한 단어로 말하자면

"상자에 물건을 넣고 계속 흔들다보면 언젠가 넣었던 모양대로 돌아옴"

이라고 할 수 있음



그래서 이게 우주랑 무슨 상관이냐고?


저 측도공간... 그러니까 "상자"가

우주도 포함하는 개념임.

즉 우주론에서 이야기하는 푸앵카레 재귀란


"우주는 언젠가, 지나갔던 상태로 되돌아온다

특히, 초기값(=빅뱅)으로도 되돌아갈 수 있다"

라는 개념임.




어디서 많이 본 것 같은 말이라면

그거 맞음


사실 생각해보면 당연한 말임

우주가, 정확히는 우주의 입자들이 배열될 수 있는 방식중에

지금의 상태일 확률은 절대 0이 아니니까

그렇다면 무한히, 언젠가, 계속, 계~~~~속 입자들을 섞다보면 

우연히 지금과 같은 배치가 될 수 있다는 건 당연하잖음


마치 무한히 많은 원숭이들이 키보드를 뚱땅뚱땅 하다보면

셰익스피어의 희곡 하나가 완성이 될 수 있다는 것과 같음


가챠도 하다보면 언젠가

10연뽑에서 6성 10개가 뜨는 것 처럼...


이러한 재귀현상은

우주가 극단적으로 가속팽창해서

먼 미래에 입자끼리 절대 만날 수 없을 것 같은

열역학적 죽음을 맞이한 "빅 프리즈"나 "빅 립"이 일어난 우주에서도 일어날 수 있음 


왜냐하면 이전 게시글에서 설명한 "양자 요동"에 의해

텅 빈 진공에서도 갑자기 입자가 뿅 하고 생길 수 있기 때문임.


그러니 우리는 우주가 보빔열로 열적 사멸할 걱정은 하지 않아도 됨

열적 사멸해도 언젠가 보빔은 다시 일어난다는게 증명되었으니까



본론으로 돌아와 히사베스가 키페리나에게 하고 싶었던 말을 해석하자면

"우리는 언젠가 빅뱅의 특이점처럼 다시 모이게 되어있으니 외롭지 않다"라는 거임


너는 무슨 위로를 그딴식으로 하니




참고로 히사베스의 스킬 "무한재귀"와 "우로보로스"도 여기서 모티브를 따온 것이라 추측됨

우주+뱀녀를 우로보로스를 통해 푸앵카레 재귀로 엮다니

아이디어가 굉장한것같음






2. 볼츠만 두뇌


그런데, 이 당연한것같은 푸앵카레 재귀정리에는 치명적인 역설이 숨겨져 있음


생각해보면 타자기를 가지고 뚱땅뚱땅하는 무한원숭이들이

희곡 전체를 칠 확률보다

한 문장을 칠 확률이 더 높은 것 처럼


우주 전체가 재귀해 다시 우리가 아는 우주 구조가 시작되는 것 보단

보빔열로 열적 사멸한 우주에서 우연히 "두뇌"만 만들어질 확률이 압도적으로 높잖음?


우주가 지금의 상태로 만들어지고 은하가 만들어지고 태양계가 구성되고 지구가 적당히 식어서 열수구나 해수면에 핵산과 단백질이 형성되고 응집해 원시세포가 만들어지고 자가복제를 한 후에 돌연변이가 축적되어 자연선택을 통해 사유가 가능한 인간의 두뇌가 만들어질 확률보다는


그냥 원자끼리 부딪히다가 우연히 두뇌만 뿅하고 만들어질 확률이 무조건 더 높잖음


두뇌는 우주에 비해 압도적으로 작고 단순한 구조니까.


이 역설이 바로 "볼츠만 두뇌"임



즉 요약하자면

"지금 릾갤에서 글을 읽고 있다"라고 생각하는 그 두뇌가

진짜 인간의 뇌일 확률보다는

그냥 허공에 우연히 생겨난 나체의 뇌일 확률이 어마무시하게, 논의할 가치가 없을 정도로 높다는 거임



통속의 뇌와 비슷하지만 약간 다른 점은

통속의 뇌는 "우리가 가짜더라도 어차피 알 수 없으니 의미가 없다"라면

볼츠만 두뇌는 "이론적으론 우리는 100% 가짠데 어떡하지"에 가까움


물론 진짜 우리가 가짜라는 얘기가 아니고

볼츠만두뇌 역설이 분명 틀렸을텐데 어디서 틀린건지 잘 모르겠다는 거임

여러가지 예측은 있지만 속시원하게 설명해주진 못함


뭐 그래도 과학자들은 증명은 못하더라도

대부분 "우리는 볼츠만 두뇌가 아니다"라는 "확신"은 있으니

지금 조지고 있는게 현실이 아닐거란 낙관적인 생각은 안해도 됨



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여기까지가 이번에 준비한 내용임


저번 행렬역학 글이 너무 복잡해서

글쓰기도 어렵고 읽기는 더 어려워서 여러모로 가성비가 안나오는 나머지

이번에는 그냥 생각나는 대로 가볍게 썼음


저번에 쓰다가 날렸다는 알레프 글은 이제 버전도 바뀌었겠다 버릴라고


그래도 다음 버전은 진짜 우주 관련이라

이과의 탈을 쓴 수학섬 문과놈들과는 달리 좀 더 쓸 주제가 많을 것 같음


기대된당