[시리즈] 리버스 1999 이공계 TMI
· 념글에 언급된 이번 출석문구 "CPT 대칭"에 관해(쉬움)(장문)
· 37 일화에 나온 십이각별과 슐레플리 기호에 대해(장문)
· 저번 출석 문구에 나온 하이젠베르크의 이론에 대해(장문)
· 웹이벤 히사베스가 말한 "푸앵카레 재귀"에 대해
· 히사베스의 캐릭터성과 사문석에 대해(약 장문)
· 로렌츠 나비의 모티브에 대한 tmi


https://m.dcinside.com/board/reverse1999/523590


이 글을 읽기 전 

중섭출시때 적었던 로나비 모티브에 대한 글은 보고와주셈









히사베스가 우주론, 우주공학, 지질학 등 

다양한 분야의 과학을 짜임새 있게 엮은 캐릭터라면


로나비는 정말 카오스 이론 단 하나를 끝까지 뽑아먹은

카오스 너무좋아 캐릭터라고 볼 수 있음


둘 다 잘 만든 과학자 캐릭터고

그래서 둘을 좋아하는 유저들도 많이 겹치는 모양이지만

캐릭터 구성의 측면에선 정 반대의 방식을 사용한 거지


아무튼 그러다보니 로나비는 스토리에서도 대사에서도 심지어 스킬에도

카오스 이론에 대한 모티브가 덕지덕지 붙어있음


카오스 이론에 대한 설명은 저번 글에 이미 했으니

이번 글엔 가볍게 언급된 모티브들을 짚고 넘어가보려함


내용 스포는 거의 안되는 대사들만 모으긴 했는데

혹시 예민한 사람은 조심하셈





딱히 연결성 없이 언급만 모으다 보니

이번 글은 크게 재미는 없을 수 있다



2스테 제목부터 바로 언급되는 카오스 이론


카오스 이론이 뭔지는 저번 글에 설명했으니 생략한다


다만 카오스 이론은 2차대전 참전한 교수가 만든 이론이다 보니

설명란의 19세기는 카오스 이론을 말하는게 아님


바로 저번 글 마지막쯤에 말한 "라플라스의 악마"라는 결정론적 세계관에 대한 논증을 말하는 거임


말했듯이 카오스 이론은 이 논증을 간접적으로 반증함


이것 역시 카오스 이론의 특징으로

카오스 이론의 시작이었던 로렌츠의 대류 방정식 역시

변수 몇개의 곱셈 덧셈으로 표현되는 깔끔한 미분방정식이었음


명확하고 간단한 조건만으로도 충분히 혼돈적인 결과를 만들 수 있다

이러한 특징들이 로나비 스토리에서 주기적으로 암시됨


2스 시전 대사 두개


이건 바로 혼돈계의 필수 조건을 언급한 것임


초기 조건 민감성이야 더 설명할 필요조차 없을 테고


위상적 전위 가능성의 정의는 다음과 같음

쉽게 말해 시간(n)이 지남에 따라 

어떤 상태(U)에서 시작했든 

가능한 모든 상태(V) 근처로 상태가 바뀔 수 있단 거임


이 짤이 실제 로렌츠 끌개를 시뮬레이션한 결과인데

보다시피 아주 좁은 곳(U)에서 시작한 빨간 점들이

로렌츠 끌개 전체로 퍼지잖음?

그럼 집합 V를 어디로 잡든 교집합이 생기겠지?


이게 바로 위상적 전위 가능성임


혼돈계의 가장 중요한 성질로

이것 때문에 일정 시간 이후의 일기예보가 불가능함


관측 오차 범위가 조금만 있어도 임의의 V로 갈 수 있으니...

근데 얜 어케함







인사 대사에서 말하는 랴푸노프 지수


이 랴푸노프 지수가 바로 

위상적 전위가 얼마나 크게 일어나냐를 말하는 값임


정의는 아래와 같은데

쉽게 말해서

아~~~주 비슷한 두 상태가

시간이 지남에 따라 얼마나 멀어지냐를 따지는 값임


말 그대로 랴푸노프 "지수"라서 정의에 로그가 들어가는데

그래서 두 상태가 가까워지면 음수 멀어지면 양수가 됨


이 랴푸노프 지수가 양수가 되는,

즉 아무리 유사한 상태라도 시간이 지나면 전혀 다른 상태가 되는 것이

혼돈계의 필수 조건임




로나비 픽업 배너 이름인 "기묘한 끌개"

이건 끌개의 종류중 하나인 strange attractor를 번역한 용어임


말 그대로 단순한 모양이 아니면 기묘한 끌개임


알려진 많은 혼돈계들의 끌개가 기묘한 끌개이며

가장 대표적인 로렌츠 끌개 역시 프랙탈인 기묘한 끌개임


왜 이름을 이렇게 대충지었냐면


과학자들은 원래 그렇기 때문임


야릇한 쿼크도 대충 이런 맥락에서 나온 결과물임

기존 모델과 안맞네?

-> 안맞는 정도를 기묘도라 하자

-> 얘네 사실 쿼크로 이루어져있음

-> 그럼 기묘도를 만들던 쿼크를 기묘쿼크라 하자

-> 기묘라니 으딜 한자어를 써 순우리말인 야릇한 쿼크로 번역함 ㅅㄱ







최종술식 효과인 "프랙탈 차원"


이건 일반적으로 말하는 차원을 확장시킨 개념인데

1차원에서는 어떤 도형을 2배로 줄이면 원래 도형을 2개로 채우고

2차원에서는 2배로 줄인 도형 4개로 원래 도형을 채울 수 있고

3차원에서는 2배로 줄인 도형 8개로 원래 도형을 채울 수 있잖음?


여기서 규칙을 찾은 거임


배율을 n배한 d차원 도형은 실제 양(측도)이 n^d배가 되잖음?


그럼 반대로 차원의 정의를 이 배율에 대한 측도의 변화로 정하는 거임


정사각형은 2배하면 4배가 되니까 2² = 4로 2차원

정육면체는 2배하면 8배가 되니까 2³ = 8로 3차원

이렇게 보는 거임


어차피 우리가 알고 있는 공간축 따지는 차원과 똑같은데 왜이러느냐?

프랙탈들은 이게 좀 다르게 나옴

가장 간단한 프랙탈 중 하나인 시어펀스키 삼각형

이 친구가 놓여있는 공간은 명백히 2차원이지만


얜 자기자신의 절반크기의 도형 3개로 이루어져 있어서

크기를 2배해봤자 양은 3배밖에 안됨


그래서 시어펀스키 삼각형의 프랙탈 차원은

log 3 / log 2 = 1.585...쯤 됨


즉 프랙탈 차원이란 일반 차원을 좀 확장한 개념으로

프랙탈들은 정수가 아닌 소수점 차원을 가질 수 있음


참고로 로렌츠 끌개는 2.0627 차원쯤 된다고 알려져 있다








마지막으로 주기 배가 분기...


이게 설명하기 좀 애매한 개념인데


로지스틱 사상이란 시스템이 있음

이게 원래는 토끼같은거의 세대별 개체수에 대한 모델인데


최대 개체수를 1로 두고 그에 비한 현재 개체수를 x라 하고

또 이 개체수가 늘어나는 비율을 a라 두면

다음 세대의 개체수는 ax가 되겠지?


근데 얘네가 무한정 늘어나진 못하고

최대개체수에 가까워지면 줄어들려는 압력(먹이 부족 등)이 가해지잖음


그 영향을 (1-x)로 두고 곱하면

다음 세대의 개채수는 다음과 같이 표현될거임


굉장히 단순한 모델임

여기서 우리가 관심 있는 것은 역시나 이 시스템의 끌개

그러니까 수렴하는 목표점, 고정점임


이 고정점은 당연히 a에 따라 달라지는데

정지짤 아님


a가 작을때는 0으로 수렴하고

어느 정도 키워도 한 점으로 수렴하지만

크기를 더 키우면 두 점 사이를 진동하고

크기를 키우면 키울수록 더욱 더 많은 점들 사이를 진동하다가


어느 순간 완전히 혼돈적인 형태를 보임


대충 이런식으로 작동하기 때문


이때 이 수렴하는 값이 

1개->2개->4개 식으로 2배로 늘어나는 지점이 생기는데

이 분기점이 되는 a 값들을

"주기 배가 분기"라고 부름

a에 따른 수렴점(끌개)들을 표시한 그래프들. 첫 그래프의 a1, a2, ...들이 주기 배가 분기임


한 점으로 잘 수렴하던 놈들이 진동하기 시작했다는 뜻이니

이 주기 배가 분기가 스킬창에서 설명하듯

"혼돈으로 빠지는 통로"가 될 수 있는 거지



여기서 또 신기한게 있는데

첫 주기배가분기에서 다음 주기배가분기까지의 차이와

다음 주기배가분기에서 다다음 주기배가분기까지의 차이가

점점 갈수록 일정 배율로 줄어들고 있음


여기서 이 각 주기배가분기 사이의 차이 감소율을

"파이겐바움 상수"라고 부르는데

약 4.6692... 정도의 값으로 

기존에 잘 알려진 π나 e같은 유명한 무리수들과 전혀 상관없는

아주 독립적으로 탄생한 숫자임


근데 이 파이겐바움 상수는

저 모델을 이차함수가 아닌 

사인함수처럼 적당한 곡선으로 바꾸어도 동일하게 나타남


심지어 대류나 눈 깜빡임, 물방울이 떨어지는 것에도 저 상수가 나타남


아주 독립적이지만 아주 근본적인 자연을 잘 설명하는 상수인 거임


또 이 로지스틱 사상을 복소수로 확장한 버전이

가장 유명한 프랙탈중 하나

망델브로 집합임

https://youtu.be/LYyTLMyivUk


로지스틱 사상에 대해 더 알고 싶다면 이 영상을 참고하면 좋다








끗


동역학은 내 전공이 아니라 오류 있을수 있음 

지적 부탁함




다음 글엔 이거 설명해야지

확정증거가 98년도에 나온 연구를 87년에 써먹고 지가 한 척 하다니 미친 여자