\'허수\'가 실재냐 아니냐?
ExtraD(128.84)
2005-06-07 03:07
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저는 수라는 개념 자체는 실재성이 없다고 생각합니다.
일단 수의 실재성을 부여하지 않고 x^2의 해와 x^4의 해를 고려했을 때, 1과 i가 동등한 \'수\'라는 수체계속의 entity로 등장할 것입니다. 여기선 둘의 실재성을 다툴 수 없겠지요. 그 다음 물리학 방정식을 통해 수의 실재성을 부여한다고 합시다. 이제 1과 i가 동등하게 실재성을 부여받게 될 것입니다. 제 글의 요지입니다.
결국...sqrt(-1) 의 정의를 곱씹어 봐야죠... 어디서 갑자기 튀어나오긴 했는데... 역사적 유래부터 다시 찾아봐야 겠네요.. :)
ExtraD님의 말씀에 공감합니다
가우스의 \'대수학의 대정리\'에서 수체계를 복소수계로 확장했을 때 반드시 해가 존재함을 보였습니다. 물리적 실재성을 띄고 있다고 믿는 물리학 방정식이 대수방정식 혹은 대수방정식으로 환원되는 미분방정식일 경우 복소수 체계가 너무나 자연스럽게 \'필요해\'지는 것입니다. 마치 x^2=2을 이해하기 위해 무리수를 포함한 수체계의 확장을 필요로 했던 것과 같다고 봅니다. 손가락 다섯개만 실제로 존재하고 6부터는 편의상 도입한 것이다..라는 생각은 현재 물리학 발전을 보건데 거의 의미없는 논의가 아닌가 합니다.
전자기학에 쓰이므로 유효
자연계에 나타나는 실제 물리량들이 실수로 나타나는 것에 대해서는 어떻게 생각하시나요? 양자역학에서도 Hermitian 을 사용하면서 eigenvalue가 실수라는 것을 보여주고 있지 않습니까?
쉽게 전자기파를 이용한 정보전송에서 \'phase\'는 유효한 물리적 의미를 가지잖아요.
쿼크간의 질량 섞임을 보여주는 CKM 행렬은 복소수 행렬입니다. CP 대칭성의 깨짐을 이해하기 위해선 Lagrangian 레벨에서 나타나는 복소 phase의 존재를 이해해야만 합니다.
확률은 by definition 실수여야 합니다. 하지만 확률밀도는 복소수계에서 기술해야만합니다.
글쎄요. 먼저 phase 같은 경우는 sin, cos 가지고도 표현할 수 있는 것이잖아요. 그리고 약간은 딴지성이지만, CKM matrix는 손으로 집어넣은 감이 없잖아 있구요.
페르미입자를 기술하기 위해서는 Clifford Algebra에서 복소나툼을 이해해야합니다. 실수계만으론 자연계에 실존하는 입자들을 이해할 수 없게됩니다.
sine과 cosine으로 exp[iwt] 따위를 나타낼 때 계수는 다시 복소수가 됩니다.
복소공간의 점을 실수만으로 표현할 수는 애초에 없잖아요.
(파인만님 말씀 처럼 CKM의 더 깊은 기원..그러니까 그게 왜 복소행렬이냐 그리고 각각의 entry는 어떻게 \'계산\'되느냐..는 현재 우리의 실험 능력으로 힌트를 얻지 못했습니다. 하지만 그 행렬이 복소행렬일 수 있다는 것은 이미 알고있는 지식으로도 증명할 수 있습니다. 지금 논의에선 이것이 포인트 인것 같네요.)
그리고 Hermite 행렬을 복소수 도입없이 이해할 수 없다는 것도..
그 허수는 실재하지 않는다고 주장하는 사람들이 말하는 것은 허수로 나타나는 것들이 다른 수학적인 모델을 이용해서 허수를 사용하지 않고 나타낼 수 있다고 본 것 같습니다.
물론 허수를 도입해서 모든 것을 설명할 수 있는데 구태여 허수를 제외해서 똑같은 물리 현상을 재현하는 것은 물리학자의 입장에서 볼 때 별다른 메리트가 없는 것일지도 모르겠습니다.
2*2 행렬을 이용하면 \'허수\'를 쓸 수 있잖아요? 그게 허수를 도입하는 것과 무슨 차이가 있나요?
-1을 수체계에 포함 시키는 것과 i를 포함시키는 것 사이에 저는 아무런 \'질적인\' 차이가 있다고 느끼지 않습니다.
그렇죠. 그냥 서로 다른 representation이라고 생각해도 되는 것 같습니다.
파인맛님과 같은 생각입니다.
그건 그렇고 왜 질량, 속도와 같은 직관적으로 눈에 보이는 물리량에서 허수가 등장하지 않는 것인가요? 이 역시 다른 방식으로 수학적 모델을 만들면 필연적으로 허수가 등장하게 될까요?
Good Question! 파인맛님 생각은? ^^
다른 방식으로 표현하면 허수가 튀어나올 것 같다 라는 의도로 한 질문이었습니다. 확신은 전혀 없습니다.
그렇게 치면 1+1=2라는 식도 존재하지 않습니다. 세상에는 완전히 똑같은 두 물체는 없으니까요.. 허수라는 존재는 단지 실제를 표현하기 위한 모델로서 생겨난 겁니다. 허수의 개념은 먼저 다항식을 연구하다가 field확장을 해서 얻을 수 있는 것으로 도입되었습니다. 수학은 단지 도구이기 때문에 정의하고 나면 존재의 가능성은 필요없습니다. 단지 그것이 현실을 모델할때 쓰여도 문제가 없는가가 전부이지..
정확히 기억하는 것은 아닌데, 친구 하나가 수학에서의 실수와 물리학에서 사용하는 실수가 사실은 다른 것일 수 있다는 이야기를 한 적이 있습니다. 왜 그런지는 measure theory 와 관련이 있었던 것 같은데 공부해본 적이 없어서 모르겠습니다.
(용어정리: 실재=Real Entity=실제로 존재하는 것)
http://www.apnic.net/apnic-bin/whois.pl
이거 무섭네...
http://ws.arin.net/whois
훗.. 잡혔다..
신호해석에서 허수없으면 불가능함...위상을나타낼수없어요..ㅋㅋ
실재라는 말을 어떻게 정의하느냐 자체가 중요한 거 같은데...