이해할 수 없는 수학의 유용성
ExtraD(128.84)
2005-06-10 07:57
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내 머리와 속마음을 아프게 하면서 접근할수없는 매력과 냉철함을 지닌 아가씨? 같은 느낌이랄까....
써먹기 좋은 유용한 수학만이 남아 있는 것이겠지요. 그리고 순수수학으로 분류되던 것들 중에서 물리학 이론을 기술하는 데 좋은 것을 골라서 쓰는 것이구요. 수학 이론을 상식이나 기타 다른 것을 고려하지 않고 정의해서 나름대로 구조를 갖추었다고 해도 그것이 써먹힐 데가 없으면 관심을 못 받고 사라지잖아요.
유용성이 살아남음의 잣대는 아닌것 같은데요. 예를 들어 \'페르마 마지막 정리\'는 적어도 현재까지는 아무런 유용성이 안보이잖아요?
그리고 진짜 궁금한건 왜 순수수학으로 분류되던 것들 중에서 물리학 이론을 기술하는 데 좋은 것들이 그렇게 많았냐..는 겁니다. 진짜 순수수학..즉, 아무짝에도 쓸모없는 수학은 없는 걸까요? ^^
(써놓고 보니 페르마정리가 예인것 같기도 하구..)
아직 안써먹고 있는 수학범위가 훨씬 넓을겁니다. 정수론쪽만 해도.. (오히려 수학자들이 세운 공리체계가 자연계를 덮고도 남음이 있기 때문에 생기는 현상으로 보임..ZFC만 해도 자연계 수준을 넘어서서 상상가능한 집합론을 모두 커버할 수 있으니..)
수학 잘은 모르지만 \"페르마의 마지막 정리\"라는 책을 읽고 수학이라 학문이 무진장 멋져 보였소. 그걸 연구하는 수학자들....참 대단하단 생각이 드오. 수학이 좀더 진보하면 사람의 감정마저 수학기호로 표현하고 미분적분 하지 않을까 하는 생각을 해보오 낄낄.
=_=/재밌는 말씀이네요. 수학자들이 하도 많이 만들어서 그중에 쓸모있는 것들도 많이 있다..그런데 ZFC가 뭔가요?
파인맛//유용한 수학만 남은 쪽이 응용수학입니다. 순수수학에서는 아직도 쓸모없는거 많이 있죠.. 하지만 수학이라는거는 모르는겁니다. 결국에 복잡해지다 보면은 쓸만한 부분이 나오니까요.. ZFC는 Zermelo-Fraenke Axioms하고 Axiom of choice를 합친 부분이 ZFC입니다.
gigantul/오..감사합니다! 조금더 설명을 들을 수 있을까요?
ExtraD//페르마의 마지막 정리가 절대 쓰이지 않는 것처럼 보이지만 증명의 기초가 되는 elliptic function은 2차원계의 periodic함수에 대해 연구할 때 자주 쓰입니다. 엔지니어링에서 픽셀을 표현할 때 쓰이는 경우가 종종 있죠. 원래 elliptic function은 쓸모가 전혀 없을꺼라고 생각했는데 있는거죠.. 수학은 모든 기초를 체계적으로 다져나가다 보니까 다른 학문에서 어느 부분을 따서 그 성질을 관측 할 수 있는 겁니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_set_theory에
가면 자세한 내용이.. 물론 공리만으로는 뭐가 먼지 모르시겠지만.. 쉽게보면 ZFC는 집합론을 정의하는 공리라 보면 됩니다. 별로 특이한 내용들은 없습니다.
소위 \'선택공리\'라 불리는게 ZFC인가 보군요. 너무 당연해 보이는데요.
수학자들을 보고 있노라면 가끔 그사람들은 재주넘는 곰 역할을 맡는게 아닌가 싶기도 하오.. 돈은 물리학자를 비롯한 다른 과학자들이 벌고..-_-; 하긴 물리학자들도 금융수학에서는 곰 역할을 톡톡히 했지만.. (Black-Scholes eq.가 사실은 한 200년 전에 풀려있던 열전달 방정식과 동일한 form의 PDE였다는 사실은 유명하죠..)
ZFC 내에는 선택 공리 말고도 다른 공리가 많이 들어있는데요.. 다시 확인해 보심이.. (ZFC는 현대수학의 상상 가능한 모든 space를 span 할 수 있는 basis set을 집합론적 관점에서 모아놓은 거라고 생각하시면 무방할듯 싶습니다. 별거는 아니지만 저런 단순한 공리내에서 괴델이 불완전성 정리를 유도하는 과정을 보고 있노라면 역시 천재는 천재구나 싶죠...-_- 파인만이나 겔만과는 또 다른 느낌을 주는..
저 선택공리가 당연해 보여도 안에는 모순의 가능성을 내포하고 있습니다.. 무섭죠.. 괴델의 2번째 불완전성의 원리가 axiom of choice를 겨냥한 겁니다.
수학자들이 차별받는 이유는 당연하죠.. 인류 역사 이래 순수수학은 펜하고 종이만 있으면 하는 거니까.. 지금은 뭐 새로 발견할꺼 다 했겠다.. 수학자들이 슬슬 쓸모없어 지는건 당연하죠;;;
일반 연속체 가설과 ZFC 공리의 독립성을 밝혀낸 이후로는 결국 현실세계의 문제들이 사상누각이 되어버렸죠.. 덜덜덜..아직까지는 물리나 기타 자연과학에서 ZFC 공리계를 벗어나는 문제를 찾으리라고 생각되지는 않습니다만 만약 하나라도 튀어나오게 된다면 어떻게 될지.. (음..거의 공상과학 수준의 상상이군요.-_-;;)
=_= ㅎㅐㅎ 수학과요??
아눃.. 걍 백수에요..
요즘에는 공리적 집합론 학부에서도 잘 안가르치는데 잘 아시네요. 우리학교는 작년에 과목 없에서 못들었슴...
아..그러고 보니 전산에서는 이미 반증불가능성의 문제와 현실적으로 씨름을 하고 있군요.. turing machine이나 recursive function theory 내에서 구현 불가능한 현실적인 문제들이 많이 있으니.. (예를 들어 두 프로그램의 동등성을 비교하는 문제라던지..)
전산쪽을 보아도, 수학의 공은 상당하죠. 알고리듬의 효율 등을 추정하는 것, 결과의 추정등의 방향에서도 정수론,급수,집합론등이 활용됩니다. 물론 수학 몰라도 프로그램 잘돌아가지만, 최고수준의 프로그래밍 기술은 결국 수학과 연결되더군요.
과학과 수학의 연관성이라. 수학 자체가 애초에 뭐냐? 하는 것도 의견이 분분한 상황이니 뭐라 말할 수가...
ZF + C 해서 ZFC 죠. C 가 Axiom of Choice고.. ZF랑 C는 독립적이고..
\'왜 순수수학 이론들이 물리를 잘 기술하는가\' 라는 질문이었다면 제 답은 \'물리를 잘 기술하는 수학 이론을 물리학에서 차용했기 때문이다\' 라고 답하려는 것이었습니다. 왜 수학이 물리를 잘 기술하느냐 라는 질문은 원인과 결과가 뒤집힌 것 같아서 그렇습니다. 왠지 끈이론에서 수학이 만들어지는 것을 보면 우주에는 (논리와 수학을 포함한) 보편적인 법칙이 바닥에 깔려 있고 그것을 수학이라는 언어로 재발견해 내는 것 같다는 느낌을 받습니다.
Axiom of chioce가 상식과 어긋나는 결과를 주는 경우가 있어서 아마 문제가 되었을 겁니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox
이런 것이랄지 하는게 수학적으로는 문제가 없다고 하지만 상식과는 배치되는 면이 있어서 거부감을 주었던 것으로 기억합니다.
그런 걸 두고 수학적 플라톤주의라고 하죠. 그에 대한 반론도 만만치 않습니다.
물리가전부는아니므로 수학이 물리를말한다해도별거아님.예로 시간은 물리적으로정하지만 현실의시간의 그림자만만질수있음